Question

如图所示，空气中有一折射率为

2

的玻璃柱体，其横截面是圆心角为90°、半径为R的扇形OAB．一束平行光平行于横截面，以45°入射角照射到OA上，OB不透光．若只考虑首次入射到圆弧

.

AB

上的光，则

.

AB

上有光透出部分的弧长为

π

R

4

．

Answer 1

分析：注意两条特殊光线，一是从O点沿半径方向进入玻璃柱体的光线，在AO面上折射后传播入方向不变，二是在AB面上发生全反射的光线，有光透出的部分在这两条光线之间，然后根据几何关系求解．

解答：解：根据折射定律有：

sin45°

sinr

=

2

，可得光进入玻璃后光线与竖直方向的夹角为30°．
过O的光线垂直入射到AB界面上点C射出，C到B之间没有光线射出；越接近A的光线入射到AB界面上时的入射角越大，发生全反射的可能性越大．
根据临界角公式：sinC=

1

2

，得临界角为45°，如果AB界面上的临界点为D，此光线在AO界面上点E入射，在三角形ODE中可求得OD与水平方向的夹角为180°-（120°+45°）=15°，所以A到D之间没有光线射出．由此可得没有光线射出的圆弧对应圆心角为90°-（30°+15°）=45°
所以有光透出的部分的弧长为

1

4

πR．
故答案为：

1

4

πR．

点评：解决本题的关键根据光的折射、全反射原理在AB弧面上找到有光线透出的范围，然后依据几何关系求解．