Question

18．如图所示，长为l=1m的平行板电容器，AB和CD两板的间距为l，两板的带电性质如图所示，某粒子源沿平行板中心板中心轴线发射出速度都为v₀=2×10⁴m/s的比荷为1×10⁶C/kg的正粒子，在平行板的右侧有3个荧光屏，分别放置在AB板B边缘上方、CD板D边缘下方和距离BD右边x=$\frac{0.2}{\sqrt{3}}$m处，且足够大，屏和平行板垂直，如图所示，在BD和右板之间的区域内有磁感应强度大小B=0.1T的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，不考虑粒子的重力，认为平行板内为匀强电场，板外无电场（答案可用根号表示）．
（1）若要求所有粒子都能从两板间射出，求两板能加电压的范围；
（2）讨论粒子打在荧光屏上的范围．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，要使全部粒子都从两板间射出，应满足偏转距离y$≤\frac{L}{2}$，由运动学公式求解电压范围
（2）当U=400V，粒子恰好沿上板边缘离开，与竖直板右板恰好相切时，距离最远；当U=0时，粒子以V₀进入磁场，与竖直板右板恰好相切时，距离最近．

解答 解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，要使全部粒子都从两板间射出，应满足偏转距离y$≤\frac{L}{2}$
由运动学公式知：y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}\frac{qU}{mL}\frac{{L}^{2}}{{V}_{0}^{2}}$
联立得U≤$\frac{m{V}_{0}^{2}}{q}$=400V
（2）当U=400V，粒子恰好沿上板边缘离开，与竖直板右板恰好相切时，距离最远为h，
此时的速度V=$\sqrt{{V}_{0}^{2}+{V}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{V}_{0}^{2}+（\frac{qU}{mL}\frac{L}{{V}_{0}}）^{2}}$=$2\sqrt{2}×1{0}^{4}$m/s
对应的半径R=$\frac{mV}{qB}$=0.2$\sqrt{2}$m
由几何公式知：R²=h²+（R-x）²
解得：h=0.228m
当U=0时，粒子以V₀进入磁场，与竖直板右板恰好相切时，距离最近为h′，
画出运动轨迹，由几何知识知：h′=x=$\frac{0.2}{\sqrt{3}}$m
故粒子打在荧光屏上的范围为距离OO′上方最远：$\frac{L}{2}+h$=0.728m；最近：$\frac{0.2}{\sqrt{3}}$m
答：（1）若要求所有粒子都能从两板间射出，求两板能加电压的范围U≤400V；
（2）讨论粒子打在荧光屏上的范围为距离OO′上方最远：$\frac{L}{2}+h$=0.728m；最近：$\frac{0.2}{\sqrt{3}}$m

点评 带电粒子在组合场中的运动问题，首先要运用动力学方法分析清楚粒子的运动情况，再选择合适方法处理．对于匀变速曲线运动，常常运用运动的分解法，将其分解为两个直线的合成，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解；对于磁场中圆周运动，要正确画出轨迹，由几何知识求解半径