题目内容
3．
如图所示，在水平面MN上方高H=2.4m处固定一带负电的小球A，一质量m=9.0×10-3kg，带电量q=1.0×10-2C的带正电小球B在水平面内做匀速圆周运动、A、B之间的距离l=2.0m，连线与竖直方向的夹角θ=37°、在平面MN下方足够大的区域内存在竖直向上的匀强电场和水平垂直纸面向外的匀强磁场，电场强度E=9.0V/m．当小球B球运动到速度方向与磁场方向垂直的P点时，A球的电量忽然消失．若不考虑电流的磁效应，g=10m/s2，静电力常量k=9.0×109$\frac{N•{m}^{2}}{{C}^{2}}$．已知sin37°=0.6，试求：（1）A球的带电量Q；
（2）若要使小球B不穿过MN下方与MN相距d=4.8m的水平面，磁场的磁感应强度的大小B应满足的条件；
（3）在H＞1.6m的条件下，无论H取何值，要使小球B都能通过P点正下方的平面MN上的Q点，磁场的磁感应强度B2应为多大？
分析 （1）对B球受力分析，受到竖直向下的重力、由B指向A的库仑力，运用正交分解，库仑力在竖直方向的分量等于重力，根据平衡几何库仑定律即可求出A球的电量；
（2）对B球分析，沿半径方向的合外力提供向心力，根据牛顿第二定律，结合向心加速度的线速度表示形式可求出B球的速度v，离开P点后做平抛运动，根据平抛运动规律，求出小球进入电磁场区域时速度的大小和方向，根据已知条件计算可知重力与电场力平衡，小球在电磁场中相当于只受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，再根据洛伦兹力提供向心力，求出半径R，画出复合条件的临界轨迹，利用几何关系求出的半径与磁场的半径公式联立即可求出B的临界取值．
（3）画出小球运动轨迹过程图，分两个过程分析，平抛和圆周，平抛运动运用运动的合成和分解解决，求出末速度的大小和方向，圆周运动用洛伦兹力提供向心力求出的半径公式，再与几何关系结合，最后分析运算，消掉未知量即可．
解答 解：（1）受力分析可知：B球受到竖直向下的重力和由B指向A的库仑力，运用正交分解，
库仑力在竖直方向的分量等于重力：k$\frac{Qq}{{l}^{2}}$cosθ=mg…①
由①式代入题给数据计算可得：Q=$\frac{mg{l}^{2}}{kqcosθ}$=5×10-9C
（2）库仑力沿半径方向的分力提供向心力：k$\frac{Qq}{{l}^{2}}$sinθ=mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{lsinθ}$
所以可得：v=$\sqrt{gltanθsinθ}$=3m/s…②
A球的电量忽然消失，之后B球以v=3m/s的初速度做平抛运动，
竖直方向位移：y=H-lcosθ=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
代入数据可得：t=0.4s
竖直方向速度：vy=gt=4m/s…③
②③式联立，可得B球进入磁场的速度大小为：v1=$\sqrt{{v}_{y}^{2}{+v}^{2}}$=5m/s…④，方向与水平方向成53°角
B球进入电磁场后，根据已知数据计算可得：qE=mg，所以小球在电磁场中相当于只受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动
根据洛伦兹力提供向心力：qv1B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
可得：R=$\frac{m{v}_{1}}{qB}$…⑤
因为小球B不穿过MN下方与MN相距d=4.8m的水平面
根据几何关系：R（1+sin37°）≤d…⑥
④⑤⑥式联立代入题给数据得：B≥1.5T
（3）设球B做平抛运动的水平位移为x′，运动时间为t′，竖直方向的末速度为vy′，
B球进入磁场时的合速度为v2，速度方向与磁场边界的夹角为α，匀速圆周运动的半径为R′
水平方向位移：x′=vt′…⑦
竖直方向速度：vy′=gt′…⑧
粒子轨迹如图，几何关系可知：平抛运动的水平位移和圆周运动的弦长相等：x′=2R′sinα…⑨
根据平抛过程中速度偏转角的矢量关系有：sinα=$\frac{{v}_{y}^{′}}{{v}_{2}}$…⑩
洛伦兹力提供向心力有：qv′B2=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R′}$…⑪
⑦⑧⑨⑩⑪式联立代入题给数据得：B2=$\frac{2mg}{qv}$=6T
答：（1）A球的带电量Q为5×10-9C；
（2）若要使小球B不穿过MN下方与MN相距d=4.8m的水平面，磁场的磁感应强度的大小B应满足B≥1.5T；
（3）在H＞1.6m的条件下，无论H取何值，要使小球B都能通过P点正下方的平面MN上的Q点，磁场的磁感应强度B2应为6T．
点评 本题第一问用库仑力取代了圆锥摆模型中绳子的拉力，考查对匀速圆周运动的处理；第二问将平抛运动和复合场结合起来，重点考察这两种运动的综合应用能力；最后一问考查逻辑推理和数学运算能力（消去无关量）．在第二问中，同学们要分析好两个运动过程间的速度衔接关系；第三问难度较大，要求同学们抓住平抛运动的水平位移和弦长相等这一几何关系，约去无关量，对运算能力要求较高．建议同学们在平时的学习过程中加强经典模型处理的训练，练习综合运用物理知识解决问题的能力．
图中装置可用来探究物块的运动情况，细线平行于桌面，遮光片的宽度为d，两光电门之间的距离为s，让物块从光电门A的左侧由静止释放，分别测出遮光片通过光电门A、B所用的时间为tA和tB，用遮光片通过光电门的平均速度表示遮光片竖直中线通过光电门的瞬时速度．
如图所示，粗糙水平面上有A、B、C三点，AB、BC长度之比为5：3，现有一粗糙小物块以初速度v0滑过A点后，又依次滑过B、C两点，已知小物块在粗糙水平面上的运动可看做匀变速直线运动，从A点运动到C点所用的时间为t，则以下说法中正确的是（ ）| A． | 小物块到达B点的速度为$\frac{2{v}_{0}}{3}$ | B． | 小物块到达B点的速度为$\frac{{v}_{0}}{4}$ | ||
| C． | 物块从A点运动到B点的时间为$\frac{t}{4}$ | D． | 物块从A点运动到B点的时间为$\frac{3}{4}$t |
如图，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面），磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一电荷量为q（q＜0）、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为$\frac{R}{2}$．已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为（不计重力）（ ）| A． | $\frac{qBR}{2m}$ | B． | $\frac{qBR}{m}$ | C． | $\frac{3qBR}{2m}$ | D． | $\frac{2qBR}{m}$ |
如图所示，三个质量均为m的物块a、b、c，用两个轻弹簧和一根轻绳相连，挂在天花板上，处于静止状态．现将b、c之间的轻绳剪断，下列说法正确的是（ ）| A． | 在刚剪断轻绳的瞬间，b的加速度大小为g | |
| B． | 在刚剪断轻绳的瞬间，c的加速度大小为2g | |
| C． | 剪断轻绳后，a、b下落过程中，两者一直保持相对静止 | |
| D． | 剪断轻绳后，a、b下落过程中加速度相等的瞬间，两者之间的轻弹簧一定处于原长状态 |