Question

9．如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，如图所示．从水星与金星在一条直线上开始计时，若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为θ₁，金星转过的角度为θ₂（θ₁、θ₂均为锐角），则由此条件可求得（　　）

• A． 水星和金星表面的重力加速度之比
• B． 水星和金星的密度之比
• C． 水星和金星绕太阳运动的周期之比
• D． 水星和金星绕太阳运动的向心力大小之比

Answer 1

分析 根据相同时间内转过的角度之比求出角速度之比，从而得出周期之比，根据万有引力提供向心力得出轨道半径和周期的关系，结合周期之比求出轨道半径之比．根据万有引力提供向心力得出向心加速度之比．

解答 解：A、在水星表面物体的重力等于万有引力，有$G\frac{{M}_{水}^{\;}m}{{R}_{水}^{2}}=m{g}_{水}^{\;}$，得${g}_{水}^{\;}=G\frac{{M}_{水}^{\;}}{{R}_{水}^{2}}$
在金星表面物体的重力等于万有引力：$G\frac{{M}_{金}^{\;}m}{{R}_{金}^{2}}=m{g}_{金}^{\;}$，得${g}_{金}^{\;}=G\frac{{M}_{金}^{\;}}{{R}_{金}^{2}}$
由于水星和金星的质量比及半径比都未知，所以无法求出水星和金星表面的重力加速度之比，故A错误；
B、水星和金星是环绕天体，无法求出质量，也无法知道它们的半径，所以求不出密度比．故B错误．
C、相同时间内水星转过的角度为${θ}_{1}^{\;}$，金星转过的角度为${θ}_{2}^{\;}$，可知它们的角速度之比为${θ}_{1}^{\;}：{θ}_{2}^{\;}$，周期$T=\frac{2π}{ω}$，则周期之比为${θ}_{2}^{\;}：{θ}_{1}^{\;}$，故C正确；
D、根据$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}r$，得$r=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{\;}^{3}}}$，角速度之比可以得出水星和金星到太阳的距离，因为无法求出水星和金星的质量，所以无法求出水星和金星绕太阳运动的向心力大小之比，故D错误；
故选：C

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，知道运用该理论只能求解中心天体质量，不能求解环绕天体质量．