Question

7．如图所示，宽度为L的粗糙平行金属导轨PQ和P′Q′倾斜放置，顶端QQ′之间连接一个阻值为R的电阻和开关S，底端PP′处与一小段水平轨道用光滑圆弧相连．已知底端PP′离地面的高度为h，倾斜导轨处于垂直于导轨平面，磁感应强度为B的匀强磁场（图中未画出）中．若断开开关S，将一根质量为m、电阻为r、长也为L的金属棒从AA′处静止开始滑下，金属棒落地点离PP′的水平距离为x₁；若闭合开关S，将金属棒仍从AA′处静止开始滑下，则金属棒落地点离PP′的水平距离为x₂．不计导轨电阻，忽略金属棒经过PP′处的能量损失，已知重力加速度为g，求：
（1）开关断开时，金属棒离开底端PP′的速度大小；
（2）开关闭合时，金属棒在下滑过程中产生的焦耳热；
（3）开关S仍闭合，金属棒从比AA′更高处静止开始滑下，水平射程仍为x₂，求电阻R上消耗的最大电功率．

Answer 1

分析 （1）金属棒离开底端PP′后，做平抛运动，已知水平距离和高度，根据平抛运动的知识，可以求出棒开底端PP′的速度大小；
（2）开关闭合后，金属棒下滑时，需要克服安培力做功产生焦耳热，根据能量守恒定律求解焦耳热；
（3）根据平抛的水平距离相等，说明金属棒离开PP′时的速度相等，金属棒在倾斜导轨上应先做加速度减小的加速运动，然后匀速运动，匀速运动时速度最大，再求解电阻R上消耗的最大电功率．

解答 解：（1）开关断开时，设金属棒离开底端PP′的速度大小为v₁，在空中运动的时间为t，则：
在水平方向上：x₁=v₁t
在竖直方向上有：h=$\frac{1}{2}$gt²
联立可得：v₁=x₁$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
（2）开关断开时，在金属棒沿倾斜导轨下滑的过程中，重力做功为W_G，摩擦力做功为W_F．
根据动能定理可得：W_G+W_F=$\frac{1}{2}$mv₁²
根据结果可得，开关闭合时，金属棒离开底端PP′的速度：v₂=x₂$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
在金属棒沿倾斜导轨下滑的过程中，重力做功和摩擦力做功与开关断开时相同，安培力做功为W_安，系统产生的焦耳热为Q，
由动能定理可得：W_G+W_F+W_安=$\frac{1}{2}$mv₂²
又由功能关系可得：Q=|W_安|
金属棒产生的焦耳热为：Q_r=$\frac{r}{R+r}$Q
联立上述方程可得：Q_r=$\frac{r}{R+r}$•$\frac{mg}{4h}$（x₁²-x₂²）．
（3）据题，开关S仍闭合，金属棒从比AA′更高处静止开始滑下，水平射程仍为x₂，说明金属棒离开PP′时的速度相等，则知金属棒在倾斜导轨上先做加速度减小的加速运动，然后匀速运动．匀速运动时速度最大，金属棒产生的感应电动势最大，电阻R上消耗的电功率最大．
此时，金属棒产生的感应电动势为 E=BLv₂．
电阻R两端的电压 U=$\frac{R}{R+r}$E
电阻R上消耗的最大电功率为 P=$\frac{{U}^{2}}{R}$
联立解得 P=$\frac{R{B}^{2}{L}^{2}{x}_{2}^{2}g}{2h（R+r）^{2}}$
答：
（1）开关断开时，金属棒离开底端PP′的速度大小为x₁$\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（2）开关闭合时，金属棒在下滑过程中产生的焦耳热为$\frac{r}{R+r}$•$\frac{mg}{4h}$（x₁²-x₂²）；
（3）电阻R上消耗的最大电功率为$\frac{R{B}^{2}{L}^{2}{x}_{2}^{2}g}{2h（R+r）^{2}}$．

点评 本题首先要掌握平抛运动的研究方法，其次能运用能量守恒定律求解热量，都是常用的思路，平时要多加强这方面的练习，熟练掌握．