Question

如图所示，质量不计且足够长的倒L型支架下端固定在质量为2m的木板上，在其上端O处系一长为L的轻绳，绳的下端系一质量为m的小球，小球可视为质点．整个装置在光滑的水平面上以速度v₀向右作匀速直线运动，水平面的右端为一矮墙壁．
①若木板与墙壁相碰后即与墙壁粘合在一起，试求碰后小球上升至最高点时绳中的张力大小（小球在运动过程中不与支架相碰）．
②若木板与墙壁相碰后以原速率反弹，要使绳的最大偏角不超过90°，则绳长L应满足什么条件？
③在满足第2问的条件下，则当小球运动至最低点时，木板对地的压力是多大？

Answer 1

分析：（1）木板与墙壁相碰立即与墙壁粘合在一起，小球以速度v₀向右做圆周运动，速度v₀在不同的范围内小球的运动情况不同，分情况讨论．
（2）绳的偏角最大时，球与木板的共同速度为υ，根据动量守恒求得共同速度，再根据机械能守恒求得绳长．
（3）当小球运动至最低点时，根据系统水平方向动量守恒和机械能守恒，列式求出小球和木板的速度．在最低点时，由重力和细绳的拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律细绳的拉力，再对木板研究，即可求得地对板的支持力，由牛顿第三定律求出木板对地的压力．

解答：解：①当v₀≤

2gL

时，设球上升到最高点时绳与竖直方向的夹角为θ．
对小球向上摆动的过程有：mgL（1-cosθ）=

1

2

m

v

2 0

                 
小球在最高点时有：T=mgcosθ                                
解得张力：T=mg-

m v 2 0

2L

                                       
当

2gL

＜V0＜

5gL

时，绳松弛后小球作斜上抛运动，故张力T=0      
当v0≥

5gL

时，设球运动到最高点时速度为v．
对小球从最低点到最高点的过程有：

1

2

m

v

2 0

-

1

2

mv2=mg?2L       
小球在最高点时有：T+mg=m

v2

L

                             
解得张力：T=m

v 2 0

L

-5mg                                  
②若绳长为L₀时，碰后绳的最大偏角为90⁰，球与木板的共同速度为v
据动量守恒得：2mv₀-mv₀=3mv                              
据机械能守恒得：mgL₀=

1

2

?3m

v

2 0

-

1

2

?3mv2                     
解得：L0=

4 v 2 0

3g

所以当L满足L≥

4 v 2 0

3g

时，绳的偏角不超过90⁰                 
③设小球运动到最低点时，小球、木板的速度分别为v₁、v₂，据动量、能量守恒得
2mυ₀-mυ₀=mυ₁+mv₂
据机械能守恒得：

1

2

?3m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

?2m

v

2 2

解得：v₁=-v₀（?-?表示小球向右通过最低点），v₂=v₀
    v₁=

5

3

v0，v2=-

v0

3

（?-?表示木板向右运动）         
不论小球向左还是向右通过最低点，球相对于板的速度v’均为2v₀，即：v′=2v₀
对最低点的小球有：T-mg=m

v′2

L

                             
对木板有：N=T+2mg                                       
据牛顿第三定律得：板对地压力大小N′=N                       
解得：N′=3mg+

4m v 2 0

L

答：
①若木板与墙壁相碰后即与墙壁粘合在一起，碰后小球上升至最高点时绳中的张力大小为m

v 2 0

L

-5mg．
②若木板与墙壁相碰后以原速率反弹，要使绳的最大偏角不超过90°，则绳长L应满足L≥

4 v 2 0

3g

．
③在满足第2问的条件下，则当小球运动至最低点时，木板对地的压力是3mg+

4m v 2 0

L

．

点评：本题中细绳带小球在竖直面内做圆周运动，小球需要向心力，根据小球获得速度的大小判断小球的运动情况．该题是把动量守恒和机械能守恒结合得综合应用．