Question

3．如图所示，平面直角坐标系xOy的第二象限内存在场强大小为E，方向与x轴平行且沿x轴负方向的匀强电场，在第一、三、四象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场．现将一挡板放在第二象限内，其与x，y轴的交点M、N到坐标原点的距离均为2L．一质量为m，电荷量绝对值为q的带负电粒子在第二象限内从距x轴为L、距y轴为2L的A点由静止释放，当粒子第一次到达y轴上C点时电场突然消失．若粒子重力不计，粒子与挡板相碰后电荷量及速度大小不变，碰撞前后，粒子的速度与挡板的夹角相等（类似于光反射时反射角与人射角的关系）．求：
（1）C点的纵坐标．
（2）若要使粒子再次打到档板上，磁感应强度的最大值为多少？
（3）磁感应强度为多大时，粒子与档板总共相碰两次后到达C点？这种情况下粒子从A点出发到第二次到达C点的时间多长？

Answer 1

分析 （1）粒子向沿着+x方向做匀加速直线运动，然后碰撞后做类似平抛运动，根据动能定理和类似平抛运动的分位移公式列式求解即可；
（2）若要使粒子再次打到档板上，临界情况是轨迹圆经过C点，画出轨迹，结合几何关系求解轨道半径，然后根据牛顿第二定律列式求解磁感应强度的最大值；
（3）画出临界轨迹，粒子经过坐标原点后射向极板并反弹，再次经过磁场偏转后沿着直线射向C点，结合几何关系求解出轨道半径，然后分阶段求解运动的时间．

解答 解：（1）设粒子与板作用前瞬间速率为v₀，由动能定理，有：
qEL=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-0$
解得：
${v}_{0}=\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$
粒子与板碰撞后在电场中做类似平抛运动，设到达y轴时与C点的竖直距离为y，
在x轴方向，有：$L=\frac{qE}{2m}{t}^{2}$
在y轴方向，有：y=v₀t 
由以上二式得到：t=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，y=2L
故粒子第一次到达y轴时距坐标原点为：y′=y+L=3L
（2）粒子到C点时，x轴方向的速度分量为：${v}_{x}=at=\frac{qE}{m}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}=\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$
此时速度v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{qEL}{m}}$
设v与x轴正方向的夹角为θ，有：
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$，故θ=45°
粒子进入磁场后将做匀速圆周运动，转过270°后打在板上的N点时，磁感应强度B₁为最大，有：
${r}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}L$
又$qv{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$，故B₁=$\frac{mv}{q{r}_{1}}$=2$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$
（3）当磁感应强度的大小为B₂时，粒子做半径为r₂的圆周运动，到达y轴上的O点之后，沿着直线运动打到板上，故：
${r}_{2}=\frac{3}{2}\sqrt{2}L$
同理${B}_{2}=\frac{mv}{q{r}_{2}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$
此后粒子返回O点，进入磁场后做匀速圆周运动，由对称性可知粒子将到达D点，接着做直线运动再次到达C点，从A到板，有：
L=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}•{{t}_{1}}^{2}$，故t₁=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；
在磁场中做匀速圆周运动的时间：t₂=$\frac{3}{2}T=\frac{3}{2}×\frac{2π{r}_{2}}{v}$=$\frac{9π}{4}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$
从O到板再返回O点做匀速直线运动时间为：${t}_{3}=\frac{2\sqrt{2}L}{v}=\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$
从x轴上D点做匀速直线运动到C点的时间为：${t}_{4}=\frac{3\sqrt{2}L}{v}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$
故t_总=t+t₁+t₂+t₃+t₄=$\frac{9（2+π）}{4}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$
答：（1）C点的纵坐标为（0，3L）．
（2）若要使粒子再次打到档板上，磁感应强度的最大值为2$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$；
（3）磁感应强度为$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$时，粒子与档板总共相碰两次后到达C点；这种情况下粒子从A点出发到第二次到达C点的时间为$\frac{9（2+π）}{4}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$．

点评 本题关键是明确粒子的受力情况和运动情况，分直线加速、类似平抛运动、匀速圆周运动和匀速直线运动过程进行分析，切入点是画出临界轨迹，结合几何关系得到轨道半径．