Question

13．如图所示装置可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A于两细线连接后分别系于B、C两点，当细线AB沿水平方向绷直时，细线AC与竖直方向的夹角θ=53°．已知小球的质量m=1kg，细线AC长L=3m．（重力加速度取g=10m/s²，sin53°=0.8）
（1）若装置匀速转动时，细线AB刚好被拉至成水平状态，求此时的角速度ω₁．
（2）若装置匀速转动的角速度ω₂=$\sqrt{\frac{65}{9}}$rad/s，求细线AB和AC上的张力大小T_AB、T_AC．

Answer 1

分析 （1）当细线AB刚好被拉直，则AB的拉力为零，靠AC的拉力和重力的合力提供向心力，结合牛顿第二定律求出此时的角速度．
（2）抓住小球竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，结合牛顿第二定律求出细线AB和AC的张力．

解答 解：（1）当细线AB刚好被拉直，则AB的拉力为零，靠AC的拉力和重力的合力提供向心力，
根据牛顿第二定律有：$mgtan37°=m{L}_{AB}{{ω}_{1}}^{2}$，
解得${ω}_{1}=\sqrt{\frac{gtan53°}{{L}_{AB}}}=\sqrt{\frac{10×\frac{4}{3}}{3×\frac{4}{5}}}=\frac{5\sqrt{2}}{3}rad/s$．
（2）若装置匀速转动的角速度ω₂=$\sqrt{\frac{65}{9}}$rad/s，
竖直方向上有：T_ACcos53°=mg，
水平方向上有：${T}_{AC}sin53°+{T}_{AB}=m{L}_{AB}{{ω}_{2}}^{2}$，
代入数据解得T_AC=$\frac{50}{3}$N，T_AB=4N．
答：（1）此时的角速度为$\frac{5\sqrt{2}}{3}$rad/s．
（2）细线AB和AC上的张力大小T_AB、T_AC分别为4N、$\frac{50}{3}$N．

点评 解决本题的关键知道小球向心力的来源，抓住临界状态，结合牛顿第二定律进行求解．