Question

15．如图所示，在直角坐标系的原点O处有一放射源，向四周均匀发射速度大小相等、方向都平行于纸面的带电粒子，在放射源右边有一垂直于x轴放置的很薄的挡板，挡板与xOy平面交线的两端M、N与原点O正好构成等腰直角三角形．已知带电粒子的质量为m，带电量为q，速率为v，MN的长度为L．（粒子不计重力）．若在整个空间加一方向垂直纸面向里匀强磁场，
（1）若粒子做圆周运动的半径为r，则所加磁场磁感应强度为多少？
（2）要使所有运动的粒子都不能打到挡板MN上，则磁感应强度B₀的最小值为多大？
（3）要使板右侧的MN上都有粒子打到，磁场的磁感应强度不能超过多少？若刚好满足此条件，放射源O 向外发射出的所有带电粒子打在板的左边和打在板右边的粒子数之比为多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出磁感应强度．
（2）要使y轴右侧所有运动粒子都不打在 MN板上，其临界条件为：沿y轴方向运动的粒子作圆周运动，轨迹刚好与MN相切．根据牛顿第二定律求出电场强度磁感应强度的最小值
（3）加匀强磁场后，粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动，当轨迹以O′为圆心同时过M、N两点时，轨迹直径最小，得到粒子圆周运动的半径，由牛顿第二定律求出B的最大值．根据粒子的运动情况求出粒子数之比．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得，磁感应强度：B=$\frac{mv}{qr}$；
（2）设磁感应强度大小为B，带电粒子运动的轨迹半径为R，
带电粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得，B=$\frac{mv}{qR}$，
由于从O点射出的粒子的速度大小都相同，则所有粒子的轨迹半径都相等．
由几何知识可知，为使粒子不打在挡板上，粒轨迹的半径最大时，
带电粒子在O点沿y轴负方向射出，其轨迹刚好与MN相切，
由题意可知：△MON是等腰直角三角形，由几何知识可知，
粒子最大轨道半径：R=$\frac{L}{4}$，磁感应强度B₀的最小值：B₀=$\frac{4mv}{qL}$；
（3）粒子在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，
要使板右侧的MN连线上都有粒子打到，粒子轨迹半径的最小值：R=$\frac{1}{2}$L．

粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得，磁感应强度的最大值：B=$\frac{2mv}{qL}$，

从O点向第三象限发射出的粒子均能打在MN板的右侧，占发射粒子总数的$\frac{1}{4}$，
从O点向第四象限发射出的粒子均能打在MN板的左侧，占发射粒子总数的$\frac{1}{4}$，
放射源O向外发射出的所有带电粒子打在板的左边和打在板右边的粒子数之比为1：1；
答：（1）若粒子做圆周运动的半径为r，所加磁场磁感应强度为$\frac{mv}{qr}$；
（2）要使所有运动的粒子都不能打到挡板MN上，则磁感应强度B₀的最小值为$\frac{4mv}{qL}$；
（3）要使板右侧的MN上都有粒子打到，磁场的磁感应强度不能超过$\frac{2mv}{qL}$，
若刚好满足此条件，放射源O向外发射出的所有带电粒子打在板的左边和打在板右边的粒子数之比为1：1．

点评 带电粒子在匀强磁场中的运动问题，关键是找到轨迹的圆心，由几何关系得到半径，由洛伦兹力提供向心力求解，其中想象粒子可能的运动情景是比较困难的．