Question

20．如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN为其左边界．磁场中有一半径为R、轴线与磁场平行的金属圆筒，圆筒的圆心O到MN的距离OO₁=3R，OO₁所在直线与圆筒右侧壁交于A点．圆筒通过导线和电阻r₀接地．现有范围足够大的平行电子束以相同的速度从很远处垂直于MN向右射入磁场区．当金属圆筒最初不带电时，发现电子只能射到圆筒上以A点和C点为界的ADC弧上，而AEC弧上各点均不能接收到电子；当圆筒上电荷量达到相对稳定后，通过电阻r₀ 的电流恒为I．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略运动电子间的相互作用，取大地或无穷远处电势为零．求：
（l）在最初圆筒上没有带电时，电子射入磁场时的初速度v₀；
（2）电阻r₀中的电流恒定时电阻r₀上端处的电势φ
（3）电阻r₀中的电流恒定时电子到达圆筒时速度v的大小和金属圆筒的发热功率P．

Answer 1

分析 （1）在最初圆筒上没有带电时，电子只能射到圆筒上以A点和C点为界的ADC弧上，画出轨迹，由几何关系救出电子的轨道半径，再由牛顿第二定律求解初速度v₀．
（2）电阻r₀中的电流恒定时，由欧姆定律和电势的高低，求出电阻r₀上端处的电势φ．
（3）电子从很远处射到圆柱表面时速度v满足-eU=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²，U为电阻r₀ 两端电压．电流为I，单位时间到达圆筒的电子数 n=$\frac{I}{e}$，电子所具有总能量E=n×$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，消耗在电阻上的功率 P_r=I²r₀，所以圆筒发热功率 P=$\frac{mI{v}_{0}^{2}}{2e}$-I²r₀．

解答 解：（l）根据题意，电子在磁场中运动的轨道半径必定是r=4R，如图所示．
由qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$ 得：v₀=$\frac{4eBR}{m}$   
（2）稳定时，圆柱体上电荷不再增加，电阻r₀ 两端电压为U，U=Ir₀，
电势φ=-Ir₀  
（3）电子从很远处射到圆柱表面时速度v满足-eU=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
得：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-\frac{2eI{r}_{0}}{m}}$
电流为I，单位时间到达圆筒的电子数 n=$\frac{I}{e}$ 
电子所具有总能量E=n×$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{mI{v}_{0}^{2}}{2e}$
消耗在电阻上的功率 P_r=I²r₀
所以圆筒发热功率 P=$\frac{mI{v}_{0}^{2}}{2e}$-I²r₀=$\frac{8Ie{B}^{2}{R}^{2}}{m}$-I²r₀．
答：
（l）在最初圆筒上没有带电时，电子射入磁场时的初速度v₀是$\frac{4eBR}{m}$．
（2）电阻r₀中的电流恒定时电阻r₀上端处的电势φ是-Ir₀．
（3）电阻r₀中的电流恒定时电子到达圆筒时速度v的大小为，金属圆筒的发热功率P为$\frac{8Ie{B}^{2}{R}^{2}}{m}$-I²r₀．．

点评 本题是磁场与电路知识的综合，关键要正确画出电子的运动轨迹，由几何关系求解出轨道半径．