Question

19．如图所示，一位宇航员站一斜坡上A点，沿水平方向以初速度v₀抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点B，斜坡倾角为α，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：
（1）该星球表面的重力加速度；
（2）该星球的密度．

Answer 1

分析 （1）平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据平抛运动的规律求出星球表面的重力加速度．
（2）根据万有引力等于重力求出星球的质量，结合密度的公式求出星球的密度．

解答 解：（1）小球做平抛运动，落在斜面上时有：tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$
所以星球表面的重力加速度为：g=$\frac{2{v}_{0}tanα}{t}$．
（2）在星球表面上，根据万有引力等于重力，得：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得星球的质量为为：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
星球的体积为：V=$\frac{4}{3}$πR³．
则星球的密度为：ρ=$\frac{M}{V}$
整理得：ρ=$\frac{3{v}_{0}tanα}{2πRtG}$
答：（1）该星球表面的重力加速度为$\frac{2{v}_{0}tanα}{t}$；
（2）该星球的密度是$\frac{3{v}_{0}tanα}{2πRtG}$．

点评 解决本题的关键是要掌握万有引力等于重力这个理论，知道已知星球表面重力加速度和星球的半径，能求出星球的质量．