Question

14．一辆无动力、质量为2m的小车静止在光滑水平面，小车上固定一根，长1.5L的轻直杆，杆的顶端系有一根长为L的轻绳，绳的另一端连有质量为m的小球，现将轻绳拉直，将小球由静止释放，如图所示，已知重力加速度为g，当小球运动到最低点时，求：
（i）小车对地面的压力大小；
（ii）小车的位移大小．

Answer 1

分析 （i）小球和小车组成的系统，水平方向不受外力作用，动量守恒，小球运动到最低点的过程中，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式求出小球到达最低点的速度，小球运动到最低点，根据牛顿第二定律求出绳子对小球的拉力，再对小车受力分析，根据平衡条件结合牛顿第三定律求解；
（ii）小车下落过程中，设车向右移动的位移为x₂，小球向左移动的距离为x₁，则mx₁=2mx₂，再结合几何关系求解即可．

解答 解：（i）小球和小车组成的系统，水平方向不受外力作用，动量守恒，设小球到最低点时的速度为v₁，小车的速度为v₂，以向左为正，根据动量守恒定律得：
mv₁-2mv₂=0
根据机械能守恒定律得：
$mgL=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}×2m{{v}_{2}}^{2}$
解得：${v}_{1}=\frac{2\sqrt{3gL}}{3}$，${v}_{2}=\frac{\sqrt{3gL}}{3}$
小球运动到最低点，根据牛顿第二定律得：
F-mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$
解得：F=$\frac{7}{3}mg$
对小车受力分析，根据平衡条件得地面对小车的支持力为：N=F+2g=$\frac{13}{3}mg$，
根据牛顿第三定律可知，小车对地面的压力为$\frac{13}{3}mg$
（ii）小车下落过程中，设车向右移动的位移为x₂，小球向左移动的距离为x₁，则有：
mx₁=2mx₂，
且x₁+x₂=L，
解得：${x}_{2}=\frac{L}{3}$
答：（i）小车对地面的压力大小为$\frac{13}{3}mg$；
（ii）小车的位移大小为$\frac{L}{3}$．

点评 本题主要考查了动量守恒定律、机械能守恒定律、牛顿第二、第三定律的直接应用，要求同学们能正确分析小球和小车的运动情况，知道小球和小车水平方向动量守恒．