Question

13．空间有一静电场，在x 轴上的电场方向竖直向下，轴上的电场强度大小按E=kx 分布（x 是轴上某点到O 点的距离），如图所示．在O 点正下方有一长为L 的绝缘细线连接A、B 两个均带负电的小球（可视为质点），A 球距O 点的距离为L，两球恰好静止，细绳处于张紧状态．已知A、B 两球质量均为m，B 所带电量为-q，k=$\frac{mg}{2qL}$，不计两小球之间的静电力作用．
（1）求A球的带电量；
（2）剪断细线后，A球向上运动，求A球运动的最大速度；
（3）剪断细线后，求B球的运动范围．

Answer 1

分析 （1）选取AB组成的整体为研究的对象，写出平衡方程，即可求得A的电量；
（2）根据电场强度大小按E=kx分布，当A球受到的重力与电场力相等时，受到最大；根据动能定理即可求得A球运动的最大速度；
（3）剪断细线后，B球的先向下做加速运动，随受到的电场力的增大，加速度减小，所以B球做加速度减小的加速运动；当电场力大于重力之后，小球B做减速运动，直至返回．根据它受力的特殊性和运动的对称性即可求解．

解答 解：（1）A、B两球静止时，A球所处位置场强为：E₁=k•L=$\frac{mg}{4q}$
B球所处位置场强为：E2=k•2L=$\frac{mg}{2q}$
对A、B由整体法得：2mg+q_AE₁=qE₂
解得：q_A=-6q
（2）A球所受电场力F与x的关系式为：F₁=q_AE₁=-6qkx=$\frac{3mg}{2L}x$
剪断细线后，A球向上运动，当A球的加速度为零时，速度达到最大，
此时设A球距O点距离为x₁，则有：
mg=$\frac{3mg}{2L}$x₁，
解得：x₁=$\frac{2}{3}L$
位移△x₁=L-x₁=$\frac{L}{3}$
由动能定理可知，$\overline{{F}_{1}}•△{x}_{1}-mg△{x}_{1}=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}-0$
其中$\overline{{F}_{1}}$=$\frac{\frac{3mg}{2L}•L+\frac{3mg}{2L}{x}_{1}}{2}$=$\frac{5}{4}mg$
解得：${v}_{m}=\sqrt{\frac{gL}{6}}$
（3）剪断细线后，设B球向下运动最大位移为△x₂时，速度变为零，
此时F₂=qE=q$\frac{mg}{4qL}$（2L+△x₂）=$\frac{mg}{4L}$（2L+△x₂），
剪由动能定理，mg△x₂-$\overline{{F}_{2}}$•△x₂=0．
其中$\overline{{F}_{2}}=\frac{q\frac{mg}{4qL}×2L+q\frac{mg}{4qL}（2L+△{x}_{2}）}{2}$=$\frac{mg}{8qL}（4L+△{x}_{2}）$
解得：△x₂=4L
则B球的运动范围是：2L≤x≤6L；
答：（1）A球的带电量为-6q；
（2）剪断细线后，A球向上运动，A球运动的最大速度$\sqrt{\frac{gL}{6}}$；
（3）剪断细线后，B球的运动范围是：2L≤x≤6L．

点评 该题中，两个小球受到的力是变力，要根据它们受力变化的规律，正确分析得出它们运动的规律，然后才能做出正确的结论．题目的难度比较大．