Question

5．如图所示，质量分别为5m、3m、m的三个小球A、B、C，用两根长为L的轻绳相连，置于倾角为30°、高为L的固定光滑斜面上，A球恰能从斜面顶端处竖直落下，弧形挡板使小球只能竖直向下运动，碰撞过程中没有动能损失，小球落地后均不再反弹．现由静止开始释放它们，不计所有摩擦．求：
（1）A球刚要落地时的速度大小．
（2）C球刚要落地时的速度大小．
（3）在B球运动的过程中，两绳对B球做的总功．

Answer 1

分析 （1）在A球未落地前，A、B、C组成的系统机械能守恒，列式可求得A球刚要落地时的速度大小．
（2）在A球落地后，B球未落地前，B、C组成的系统机械能守恒，在B球落地后，C球未落地前，C球在下落过程中机械能守恒，分两个过程由机械能守恒列式可求得C球刚要落地时的速度大小．
（3）在B球下落过程中，重力和绳的拉力做功，运用动能定理列式求解两绳对B球做的总功．

解答 解：（1）在A球未落地前，A、B、C组成的系统机械能守恒，设A球刚要落地时系统的速度大小为v₁，则：
$\frac{1}{2}$（m_A+m_B+m_C）v₁²=m_Agh_A-m_Bgh_B1-m_Cgh_C1
又h_A=L，h_B1=h_C1=Lsin 30°=$\frac{1}{2}$L
代入数据解得：v₁=$\sqrt{\frac{gL}{2}}$
（2）在A球落地后，B球未落地前，B、C组成的系统机械能守恒．设B球刚要落地时系统的速度大小为v₂，则：
$\frac{1}{2}$（m_B+m_C）v₂²-2（1）（m_B+m_C）v₁²=m_Bgh_B2-m_Cgh_C2
又h_B2=L，h_C2=Lsin 30°=$\frac{1}{2}$L
代入数据解得：v₂=$\sqrt{\frac{3gL}{2}}$
在B球落地后，C球在下落过程中机械能守恒，设C球刚要落地时系统的速度大小为v₃，则：
$\frac{1}{2}$m_Cv₃²-2（1）m_Cv₂²=m_Cgh_C3
又h_C3=L
代入数据得：v₃=$\frac{\sqrt{7gL}}{2}$   
（3）在B球运动过程中，重力和绳的拉力做功，设两绳做的总功为W，根据动能定理可得：
${m}_{B}gLsin30°+W=\frac{1}{2}{{m}_{B}v}_{2}^{2}$      
代入数据解得：W=$\frac{1}{2}mgL$
答：（1）A球刚要落地时的速度大小$\sqrt{\frac{gL}{2}}$．
（2）C球刚要落地时的速度大小$\sqrt{\frac{3gL}{2}}$．
（3）在B球运动的过程中，两绳对B球做的总功$\frac{1}{2}mgL$．

点评 本题绳系系统机械能守恒问题，关键要善于选择研究的过程，分段进行列式求解．