Question

10．如图所示，AOB是游乐场中的滑道模型．它位于竖直平面内，是由两个半径都是R的$\frac{1}{4}$圆周连接而成，它们的圆心O₁、O₂与两圆弧的连接点O在同一竖直线上．O₂B与水池的水面相平．一小滑块可由弧AO的不同位置从静止开始下滑（　　）

• A． 若出发点O₁的连线与竖直方向的夹角为30°，则小滑块能在O点脱离滑道
• B． 若到达O点的速度大于$\sqrt{gR}$，小滑块将沿水平切线方向离开O点
• C． 到达O点的最大速度为$\sqrt{2gR}$
• D． 若小滑块沿水平切线方向离开O点，其落水点到O₂的距离在$\sqrt{2}$R到2R之间

Answer 1

分析 明确滑块离开O点的临界条件，知道只要重力不足以提供向心力，滑块即做平抛运动而离开轨道；再根据机械能守恒定律即可求出能离开O点的夹角；同理根据机械能守恒定律可求得由最高点滑下时的速度，则由平抛运动规律即可求出它们落水时的水平位移．

解答 解：A、滑块在O点做圆周运动，根据向心力规律可知，滑块刚能在O点离开滑道的条件是mg=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$，v₀为滑块到达O点的速度，由此得v₀=$\sqrt{gR}$，设到达O点的速度为v₀的滑块在滑道OA上的出发点到O₁的连线与竖直夹角为θ₀，由机械能守恒，有mgR（1-cosθ₀）=$\frac{1}{2}$mv₀²
联立两式解得θ₀=$\frac{π}{3}$； 故只有夹角大于60°时才能在O点脱离轨道；故A错误，B正确；
C、若滑块由最高点下滑，则根据机械能守恒定律可知：mgR=$\frac{1}{2}$mv²
解得：v=$\sqrt{2gR}$；此时速度最大； 故C正确，
D、以速度v₀从O点沿水平方向滑出滑道的滑块，其落水点至O₂的距离x₀=V₀t，R=$\frac{1}{2}$gt²
联立解得：x₀=$\sqrt{2}$R，当滑块以v_max从O点沿水平方向滑出滑道时，其落水点到O₂的距离x_max=v_maxt，解得x_max=2R；
因此，凡能从O点脱离滑道的滑块，其落水点到O2的距离在$\sqrt{2}$R到2R之间的所有可能值．故D正确；
故选：BCD．

点评 该题主要考查了机械能守恒、向心力公式、平抛运动的规律及机械能守恒定律，解题的关键在于明确物体在竖直面上做圆周运动的临界值，并能正确根据机械能守恒定律列式求解．