Question

6．如图所示，平行直线A₁、A₂间，存在两个在竖直方向足够大的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，以竖直面MN为理想分界面，方向均垂直纸面向外．两磁场区域的宽度d相同，磁感应强度的大小分别为B和$\frac{B}{2}$．在A₁边界某处有一个正粒子发射装置P，可调节粒子发射速度的大小及方向，保证粒子运动轨迹平行于纸面．已知磁场宽度d=$\frac{m{v}_{0}}{2qB}$，粒子的质量为m，电量为q，不计粒子所受重力．则：
（1）若以v垂直A₁边界发射粒子，要保证粒子均能够进入Ⅱ区域又最终不能从A₂边界穿出，求发射粒子的速度范围；
（2）调节发射装置，是粒子速度大小变为$\frac{{v}_{0}}{2}$，改变射入时的方向（其它条件不变），使粒子以最短时间穿过Ⅰ区域．求粒子在Ⅱ区域的运动时间t．

Answer 1

分析 （1）根据粒子在磁场中做圆周运动，由几何关系得到粒子的半径范围，然后由洛伦兹力做向心力求得速度范围；
（2）根据几何关系求得粒子以最短时间穿过Ⅰ区域的轨迹，进而得到粒子在Ⅱ区域运动的中心角，从而由洛伦兹力做向心力求得周期，进而得到运动时间．

解答 解：（1）粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力做向心力，即$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$R=\frac{mv}{qB}$；
所以，粒子在Ⅰ区域的半径${R}_{1}=2\frac{v}{{v}_{0}}d$，在Ⅱ区域的半径${R}_{2}=4\frac{v}{{v}_{0}}d$；
要保证粒子均能够进入Ⅱ区域，则R₁＞d，即$v＞\frac{1}{2}{v}_{0}$；
要保证粒子最终不能从A₂边界穿出，则如图所示，，$sinθ=\frac{d}{{R}_{1}}，sinθ≥\frac{{R}_{2}-d}{{R}_{2}}$；
所以，$\frac{d}{2\frac{v}{{v}_{0}d}}≥\frac{4\frac{v}{{v}_{0}}d-d}{4\frac{v}{{v}_{0}}d}$，所以，$v≤\frac{3}{4}{v}_{0}$；
所以，若以v垂直A₁边界发射粒子，要保证粒子均能够进入Ⅱ区域又最终不能从A₂边界穿出，则发射粒子的速度范围为$\frac{1}{2}{v}_{0}＜v≤\frac{3}{4}{v}_{0}$；
（2）粒子速度大小变为$\frac{{v}_{0}}{2}$，则由（1）可知：粒子在Ⅰ区域的半径R₁′=d，在Ⅱ区域的半径R₂′=2d；
粒子速度确定，那么粒子的周期也确定，故使粒子以最短时间穿过Ⅰ区域，即中心角最小，弧长最小，那么其对应的最小弦长为d，
所以，粒子运动轨迹如图所示，，
那么，$α=2arcsin\frac{\frac{1}{2}d}{{R}_{1}′}=60°$，$β=2（90°-\frac{1}{2}α）=120°$（且粒子运动轨迹恰好与A₂相切，粒子并不从A₂离开磁场），
粒子在Ⅱ区域的运动周期$T=\frac{2π{R}_{2}′}{\frac{1}{2}{v}_{0}}=\frac{8πd}{{v}_{0}}=\frac{4πm}{qB}$；所以，粒子在Ⅱ区域的运动时间$t=\frac{120°}{360°}T=\frac{4πm}{3qB}$；
答：（1）若以v垂直A₁边界发射粒子，要保证粒子均能够进入Ⅱ区域又最终不能从A₂边界穿出，则发射粒子的速度范围为$\frac{1}{2}{v}_{0}＜v≤\frac{3}{4}{v}_{0}$；
（2）调节发射装置，使粒子速度大小变为$\frac{{v}_{0}}{2}$，改变射入时的方向（其它条件不变），使粒子以最短时间穿过Ⅰ区域．则粒子在Ⅱ区域的运动时间t为$\frac{4πm}{3qB}$．

点评 带电粒子在磁场中运动问题，一般由洛伦兹力做向心力求得半径的表达式，然后由几何关系求得半径，进而求得想关问题．