Question

4．如图1所示，在2010上海世博会上，拉脱维亚馆的风洞飞行表演，令参观者大开眼界，最吸引眼球的就是正中心那个高为H=10m，直径D=4m的透明“垂直风洞”．风洞是人工产生和控制的气流，以模拟飞行器或物体周围气体的流动．在风力作用的正对面积不变时，风力F=0.06v²（v为风速）．在本次风洞飞行上升表演中，表演者的质量m=60kg，为提高表演的观赏性，控制风速v与表演者上升的高度h间的关系如图2所示．g=10m/s²．求：

（1）表演者上升达最大速度时的高度h₁；
（2）为防止停电停风事故，风洞备有应急电源，若在本次表演中表演者在最大高度h₂时突然停电，为保证表演者的人身安全，则留给风洞自动接通应急电源滞后的最长时间t_m为多长？（设接通应急电源后风洞一直以最大风速运行）

Answer 1

分析 （1）表演者在上升过程中当风力与重力平衡时，速度达到最大值．由图2得出v与h的关系式，代入风力F=0.06v²，得到F与h的关系，由平衡条件求出高度h₁．
（2）根据F与h的关系求出表演者上升过程中风力做的功，再由动能定理求出表演者上升的最大高度h₂．应急电源接通前，表演者先做自由落体运动；当应急电源接通后，做匀减速运动，恰好落到风洞底部时速度为零．根据牛顿第二定律和位移公式结合求出t_m

解答 解：（1）由图2可知：v²=1.2×10⁴-500h
即风力F=7.2×10²-30h
当表演者在上升过程中的速度最大时有F=mg                     
代入数据得h₁=4m                                             
（2）对表演者由动能定理可得W_F-mgh₂=0                     
因W_F与h成线性关系，则风力做功W${\;}_{F}=\frac{{F}_{0}+{F}_{h2}}{2}{h}_{2}$               
代入数据化简得：h₂=8m                                      
当应急电源接通后，风洞以最大风速运行时滞后时间最长
表演者减速的加速度为a=$\frac{{F}_{m}-mg}{m}$=2m/s²                      
表演者从最高处到落地过程中有h${\;}_{2}=\frac{1}{2}g{{t}_{m}}^{2}+\frac{（g{t}_{m}）^{2}}{2a}$                 
代入数据化简得t${\;}_{m}=\frac{2\sqrt{15}}{15}s$        
答：（1）表演者上升达最大速度时的高度为4m
（2）留给风洞自动接通应急电源滞后的最长时间t_m为$\frac{2\sqrt{15}}{15}$s

点评 本题根据图象写出解析式，充分利用图象的信息是本题的关键．当力与位移成线性变化时可用力的平均值与位移乘积求变化做功