Question

3．“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为轻绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型，如图所示，已知绳长为l，重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　）

• A． 小球运动到最低点Q时，处于失重状态
• B． 当v₀＜$\sqrt{gl}$时，细绳始终处于绷紧状态
• C． 当v₀＞$\sqrt{6gl}$时，小球一定能通过最高点P
• D． 小球初速度v₀越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大

Answer 1

分析 小球在最高点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，可根据牛顿运动定律分析小球的状态．小球从最高点运动得到最低点的过程中，只有重力做功，可运用动能定理列式求解．

解答 解：A、小球在最低点时．重力与拉力的合力提供向心力，加速度向上，所以小球受到的拉力一定大于重力，小球处于超重状态．故A错误；
B、设小球运动到N点时，由机械能守恒得：mgl=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$，可得 v₀=$\sqrt{2gl}$，所以当v₀＜$\sqrt{gl}$时，小球上升的最高点达不到与O等高的高度，所以细绳始终处于绷紧状态．故B正确．
C、设小球恰好到达最高点时的速度为v₁，最低点的速度为v₂；由动能定理得：
-mg（2l）=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$  ①
小球经过最高点P时，有 mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{l}$
联立解得 v₂=$\sqrt{5gl}$
因为v₀＞$\sqrt{6gl}$＞v₂=$\sqrt{5gl}$，所以小球一定能通过最高点P，故C正确．
D、球经过最低点Q时，受重力和绳子的拉力，如图
根据牛顿第二定律得到，F₂-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{l}$ ②
球经过最高点P时：mg+F₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{l}$ ③
联立①②③解得：F₂-F₁=6mg，与小球的初速度无关．故D错误．
故选：BC

点评 本题小球做变速圆周运动，在最高点和最低点重力和拉力的合力提供向心力，同时结合动能定理列式研究．要注意绳子绷紧，小球可能通过最高点，也可以在下半圆内运动．