Question

4．如图1所示，一带有$\frac{1}{4}$光滑圆弧（半径为R=1.8m）轨道的物块固定在水平面上，在其右端并排放一足够长的木板，长木板的上表面与圆弧底端的轨道等高，一个质量为m=1kg的滑块从静止开始由圆弧的最高点A滑下，滑块经圆弧轨道的最低点B滑上长木板，整个运动过程中长木板的v-t图象如图2所示，已知长木板的质量M=2kg，g=10m/s²，滑块始终没有滑离长木板，求：
（1）滑块刚到达轨道最低点B时对轨道的压力；
（2）木板与地面间的动摩擦因数μ₁和滑块与木板间的动摩擦因数μ₂；
（3）整个运动过程中滑块在长木板上滑过的距离．

Answer 1

分析 （1）滑块从A到B的过程中，根据动能定理求出到达B点的速度，在B点，根据牛顿第二定律求出支持力，再根据牛顿第三定律即可求解滑块对轨道的压力；
（2）滑块滑上木板后，在摩擦力作用下做匀减速直线运动，木板在摩擦力作用下做匀加速直线运动，当速度相等后一起做匀减速直线运动，直到静止，
根据图2可知求出木板运动的加速度，再根据牛顿第二定律列式求解即可；
（3）根据牛顿第二定律求出滑块的加速度，根据运动学基本公式求出速度相等前滑块和木板运动的位移，从而求出整个运动过程中滑块在长木板上滑过的距离．

解答 解：（1）滑块从A到B的过程中，根据动能定理得：$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=mgR$，
解得：${v}_{B}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×1.8}=6m/s$，
在B点，根据牛顿第二定律得：
N-mg=m$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$
解得：N=30N
根据牛顿第三定律可知，滑块刚到达轨道最低点B时对轨道的压力为30N，
（2）滑块滑上木板后，在摩擦力作用下做匀减速直线运动，木板在摩擦力作用下做匀加速直线运动，当速度相等后一起做匀减速直线运动，直到静止，
根据图2可知，滑块和木板共速时的初速度为v₁=1m/s，
在滑块和木板速度相等前，木板的加速度${a}_{1}=\frac{△{v}_{1}}{△{t}_{1}}=\frac{1}{1}=1m/{s}^{2}$，共速后一起运动的加速度${a}_{2}=\frac{△{v}_{2}}{△{t}_{2}}=\frac{-1}{1}=-1m/{s}^{2}$，
对木板根据牛顿第二定律得：
μ₂mg-μ₁（m+M）g=Ma₁，
-μ₁（m+M）g=（M+m）a₂，
带入数据解得：μ₁=0.1，μ₂=0.5
（3）速度相等前滑块的加速度a=$\frac{{-μ}_{2}mg}{m}=-5m/{s}^{2}$，运动的位移${x}_{1}={v}_{B}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}=6×1-\frac{1}{2}×5×1=3.5m$，
木板运动的位移${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}=\frac{1}{2}×1×1=0.5m$，
则整个运动过程中滑块在长木板上滑过的距离x=x₁-x₂=3.5-0.5=3m．
答：（1）滑块刚到达轨道最低点B时对轨道的压力为30N；
（2）木板与地面间的动摩擦因数μ₁为0.1，滑块与木板间的动摩擦因数μ₂为0.5；
（3）整个运动过程中滑块在长木板上滑过的距离位3m．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律、运动学基本公式得直接应用，注意求解地面对木板的摩擦力时，压力应为滑块和木板的重力之和，难度适中．