Question

5．如图所示，“L”形槽固定在光滑水平面，槽的曲面部分光滑，水平部分粗糙且长度d=2m，上方有水平向右的匀强电场，场强E=10²N/C．不带电的绝缘物体B静止在槽的水平部分最左端，在槽的最右端并排放置一个与它等高的，足够长的木板C，足够远处有竖直的挡板P．ABC质量均为m=1kg，现将带正电的电量q=5×10^-2C，物体A从槽的曲面上距B的竖直高度为h=0.8m处由静止释放，已知A、B与槽的水平部分及C的上表面的动摩擦因数均为μ=0.4．A与B，C与P的碰撞过程时间极短且碰撞过程中无机械能损失．A、B均可看作质点且A的电量始终保持不变，g取10m/s²．求：

（1）A与B第一次碰撞后B的速度；
（2）A与B第二次碰撞后B的速度；
（3）物体B最终停在距离木板C左端多远处．

Answer 1

分析 （1）A在光滑曲面上下滑过程，遵守机械能守恒，由机械能守恒定律求出A与B第一次碰撞前的速度．A、B碰撞过程，遵守动量守恒和机械能守恒，据两大守恒定律列式，求出碰后A、B的速度．
（2）A与B第一次碰撞后A做匀加速直线运动，B做匀减速运动，根据牛顿第二定律和运动学公式求解A与B第二次碰撞前A的速度，再根据碰撞的规律求解B获得的速度．
（3）根据动量守恒定律和能量守恒列出等式求解．

解答 解：（1）A与B第一次碰撞前，由机械能守恒定律得
$mgh=\frac{1}{2}mv_0^2$
 解得：v₀=4m/s
规定向右为正方向，碰撞过程动量守恒：
mv₀=mv_A+mv_B
机械能守恒：$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_A^2+\frac{1}{2}mv_B^2$
解得：v_A=0，v_B=4m/s
（2）A与B第一次碰撞后A做匀加速直线运动，
加速度大小${a_1}=\frac{Eq-mgμ}{m}=1m/{s^2}$
B做匀减速速直线运动，根据牛顿第二定律得
加速度大小${a_2}=\frac{mgμ}{m}=4m/{s^2}$
B的速度减到零所需的时间为$t=\frac{v_B}{a_2}=1s$
    位移为${x_B}=\frac{v_B}{2}t=2m$
而A作匀加速直线运动1s发生的位移为${x_A}=\frac{1}{2}a{t^2}=0.5m＜{x_B}$
所以当B的速度减到零以后才发生第二次碰撞，第二次碰撞前A的速度${v'_A}=\sqrt{2a{x_B}}=2m/s$
由动量守恒定律及机械能守恒可得：
A B第二次碰撞后B获得的速度v'_B=2m/s
（3）A与B完成第二次碰撞后A将静止．此时B刚好滑上C的上表面，
B与C在第一次与挡板P碰前的共同速度为mv'_B=2mv₁；
代入数据得：v₁=1m/s
C与P碰后向左运动，因为B与C动量大小相同，方向相反，取水平向右方向为正方向，
根据动量守恒定律得 mv₁-mv₁=2mv₂
代入数据得：v₂=0
最终BC静止，B的动能全部转化为内能，由能量守恒得：$\frac{1}{2}m{v'_B}^2=Q$
而Q=μmgs
故B距离C的左端：s=0.5m
答：（1）A与B第一次碰撞后B的速度是4m/s；
（2）A与B第二次碰撞后B的速度是2m/s；
（3）物体B最终停在距离木板C左端0.5m．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律、运动学基本公式、动量守恒定律的应用，并能运用数学归纳法和数列求和知识解题．