Question

14．如图，物块A通过一不可伸长的轻绳悬挂在天花板下，初始时静止；从发射器（图中未画出）射出的物块B沿水平方向与A相撞，碰撞后两者粘连在一起运动，碰撞前B的速度的大小v及碰撞后A和B一起上升的高度h均可由传感器（图中未画出）测得．某同学以h为纵坐标，v²为横坐标，利用实验数据作直线拟合，求得该直线的斜率为k=1.92×10^-3s²/m．已知物块A和B的质量分别为m_A=0.400kg和m_B=0.100kg，重力加速度大小g=9.8m/s²．
（i）若碰撞时间极短且忽略空气阻力，求h-v²直线斜率的理论值k₀．
（ii）求k值的相对误差δ（δ=$\frac{|k-{k}_{0}|}{{k}_{0}}$×100%），结果保留1位有效数字．

Answer 1

分析 （i）若B与A碰撞过程，由碰撞时间极短，外力的冲量不计，认为AB系统的动量守恒．由动量守恒定律得出碰后AB的共同速度．在碰撞后A和B共同上升的过程中，绳子拉力不做功，AB共同体的机械能守恒，由机械能守恒定律列式，联立可得到h与v²的关系式，结合数学知识得到h-v²直线斜率的理论值k₀．
（ii）根据题意δ=$\frac{|k-{k}_{0}|}{{k}_{0}}$）×100%，求k值的相对误差δ．

解答 解：（i）设物块A和B碰撞后共同运动的速度为v′，取向右为正方向，由动量守恒定律有：
  m_Bv=（m_A+m_B）v′①
在碰撞后A和B共同上升的过程中，由机械能守恒定律有
  $\frac{1}{2}$（m_A+m_B）v′²=（m_A+m_B）gh  ②
联立①②式得
  h=$\frac{{m}_{B}^{2}}{2g（{m}_{A}+{m}_{B}）^{2}}$v² ③
由题意得：
  h-v²直线斜率的理论值 k₀=$\frac{{m}_{B}^{2}}{2g（{m}_{A}+{m}_{B}）^{2}}$  ④
代入题给数据得 k₀=2.04×10^-3s²/m  ⑤
（ii）按照定义知，k值的相对误差 δ=$\frac{|k-{k}_{0}|}{{k}_{0}}$×100%  ⑥
由⑤⑥式和题给条件得 δ=6% ⑦
答：
（i）若碰撞时间极短且忽略空气阻力，h-v²直线斜率的理论值k₀是2.04×10^-3s²/m．
（ii）k值的相对误差δ是6%．

点评 根据物理规律得到解析式，再分析图象斜率的物理意义是物理上常用的方法．要知道碰撞的基本规律：系统的动量守恒．