Question

5．天文工作者观测到某行星的半径为R₁，自转周期为T₁，它有一颗卫星，轨道半径为R₂，绕行星公转周期为T₂，若万有引力常量为G，求：
（1）该行星的质量和平均密度；
（2）要在此行星的赤道上发射一颗近地人造卫星，使其轨道平面与行星的赤道平面重合，且设行星上无气体阻力，求该卫星相对于地心的速度是多少？
（3）该行星表面的重力加速度．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供卫星圆周运动的向心力可以列式求出行星的质量M，进一步求密度．
（2）发射近地人造卫星的速度即为第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力计算即可．
（3）根据重力等于万有引力，列式求得行星的地表重力加速度．

解答 解：（1）据万有引力提供卫星圆周运动的向心力，有$G\frac{Mm}{{{R}_{2}}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}{R}_{2}$ 
得到 $M=\frac{4{π}^{2}{{R}_{2}}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}$
又$M=ρ\frac{4}{3}π{{R}_{1}}^{3}$，
所以行星的密度 $ρ=\frac{3π{{R}_{2}}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}{{R}_{1}}^{3}}$
（2）根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{{R}_{1}}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{{R}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{{R}_{2}}^{3}}{{R}_{1}{{T}_{2}}^{2}}}$=$\frac{2π{R}_{2}}{{T}_{2}}\sqrt{\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}}$
（3）在行星的地表，有 $G\frac{Mm}{{{R}_{1}}^{2}}=mg$，
得$g=\frac{4{π}^{2}{{R}_{2}}^{3}}{{{R}_{1}}^{2}{{T}_{2}}^{2}}$
答：（1）该行星的质量为$\frac{4{π}^{2}{{R}_{2}}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}$，平均密度为$\frac{3π{{R}_{2}}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}{{R}_{1}}^{3}}$；
（2）要在此行星的赤道上发射一颗近地人造卫星，使其轨道平面与行星的赤道平面重合，且设行星上无气体阻力，则该卫星相对于地心的速度是$\frac{2π{R}_{2}}{{T}_{2}}\sqrt{\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}}$．
（3）该行星表面的重力加速度为$\frac{4{π}^{2}{{R}_{2}}^{3}}{{{R}_{1}}^{2}{{T}_{2}}^{2}}$．

点评 解决问题的关键根据万有引力提供圆周运动的向心力，及万有引力等于重力，理清解题思路，难度不大．