Question

20．如图所示，质量为m=1kg、带电量为q=+1×10^-6C 的物块，放置在质量M=2kg、足够长的木板正中间，木板放置在光滑的水平地面上．木板不带电，物块与木板间的动摩擦因数为μ=0.1．在地面上方存在两个匀强电场区域Ⅰ和Ⅱ，宽度均为L=1m，边界距离为d，区域Ⅰ的电场方向水平向右，区域Ⅱ的电场方向水平向左，大小均为 E=3×10⁶ N/C．将物块与木板从图示位置（物块在区域Ⅰ的左边界处）由静止释放，已知在整个过程中物块不会滑离木板，g 取10m/s ²．则：
（1）求物块刚离开区域Ⅰ时的速度大小；
（2）若物块刚进入区域Ⅱ时，物块与木板的速度刚好相同，求两作用区的边界距离 d；
（3）在第（2）问的前提下，求最终物块停在木板上的位置．

Answer 1

分析 （1）对物块，根据牛顿第二定律求出加速度，由速度位移公式求出离开Ⅰ区的速度；
（2）根据速度关系求出物块则离开区域Ⅰ时木板的速度．从离开区域Ⅰ到进入区域Ⅱ的过程，系统的动量守恒，由动量守恒定律求得物块与木板的共同速度．对物块，由动能定理求两作用区的边界距离 d；
（3）由于F＞μmg，所以物块与木板最终只能停在两电场之间．由全过程能量守恒与转化规律求物块相对木板滑动的路路程，从而得到最终物块停在木板上的位置．

解答 解：（1）区域Ⅰ中，因为 $\frac{qE}{m+M}$＞$\frac{μmg}{M}$，所以，物块相对于木板向右运动．
对物块有：qE-μmg=ma₁，代入数据解得：a₁=2m/s²，向右．
对木板有：μmg=Ma₂，代入数据解得：a₂=0.5m/s²，向右．
物块向右运动L，速度为v₁，则有：v₁²=2a₁L
代入数据解得：v₁=2m/s
（2）物块刚离开区域Ⅰ时，木板的速度为 v₂，由$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{{v}_{2}}{{a}_{2}}$代入数据解得：
v₂=0.5m/s
从离开区域Ⅰ到进入区域Ⅱ之前，系统的动量守恒，取向右为正方向，由动量守恒定律得：mv₁+Mv₂=（m+M）v_共，
代入数据得：v_共=1m/s
对物块，根据动能定理得：
-μmgd=$\frac{1}{2}m{v}_{共}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
代入数据解得：d=1.5m
（3）进入区域Ⅱ后，物块的加速度  a₁′=2m/s²，向左
木板的加速度为：a₂′=0.5m/s²，向左
物块由v_共减速为0再向左加速到区域Ⅱ的左边界时，速度为v₁′，则有：v₁′=v_共=1m/s
此时，木板的速度为 v₂′，则有：$\frac{{v}_{共}-（-v{′}_{1}）}{a{′}_{1}}$=$\frac{{v}_{共}-v{′}_{2}}{a{′}_{2}}$
代入数据解得：v₂′=0.5m/s，向右．
之后，在中间区域，二者动量守恒，有：mv₁′-Mv₂′=（m+M）v_共′
代入数据得：v_共′=0
在区域Ⅰ中间区域，物块相对木板向右运动了x₁，对整体用动能定理得：
qEL-μmgx₁=$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{共}^{2}$
代入数据解得：x₁=1.5m
在区域Ⅱ中和中间区域，物块相对木板向左运动了x₂，对整体用动能定理得：
-μmgx₂=0-$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{共}^{2}$
代入数据解得：x₂=1.5m
所以，最终物块停在木板的中点．
答：（1）物块刚离开区域Ⅰ时的速度大小是2m/s．
（2）两作用区的边界距离 d是1.5m．
（3）终物块停在木板的中点．

点评 解决本题的关键能够正确地进行受力分析，通过物体的受力，判断物体的运动情况，将各个过程分成若干个子过程，要把握每个过程的物理规律以及隐含的临界条件．