题目内容

15．如图所示，在xOy直角坐标系的第三象限内有平行于x轴的水平匀强电场，在第一象限有垂直于纸面向外的水平匀强磁场B．一带正电荷量为q、质量为m的粒子，从电场中A点沿y轴正方向以速度v0射入电场，从原点O飞出电场，粒子从O点进入磁场后经过一段时间撤去磁场，发现粒子从x轴上的P点飞出，飞出时的速度方向与x轴正方向成15°角，已知A点坐标为（-$\frac{L}{2}$，-L），不计粒子的重力，已知cos15°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．求：
（1）匀强电场的电场强度E的大小．
（2）撤去磁场时粒子所在位置的坐标．
（3）粒子从O点运动至P点所用的时间t．

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律求出电场强度．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出力的在轨道半径，根据题意求出粒子在磁场中转过的角度，然后求出粒子的位置坐标．
（3）根据粒子转过的角度与粒子的周期公式求出粒子的运动时间．

解答 解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，
水平方向：$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t2，
竖直方向：L=v0t，
解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$；
（2）粒子在磁场中做类平抛运动，
粒子进入磁场时与x正方向间的夹角为θ，
则：tanθ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{x}}$=$\frac{{v}_{0}}{\frac{qE}{m}×\frac{L}{{v}_{0}}}$=1，则θ=45°，

粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qv0B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
由于粒子飞出时的速度方向与x轴正方向成15°角，所以撤去磁场时粒子的速度方向与x轴正方向成15°角，
由几何知识可得，撤去磁场时粒子所在位置的坐标：
x=rcos45°+rsin15°，解得：x=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
y=rcos15°-rsin45°，解得：y=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
（3）由几何知识可知，粒子在磁场中转过的圆心角：α=60°，
粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子做圆周运动所用的时间：t1=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{60°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{3qB}$，
粒子从撤去磁场后到到达x轴所经过的位移为s=$\frac{y}{sin15°}$=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
此过程所用的时间为：t2=$\frac{s}{v}$=$\frac{s}{\frac{{v}_{0}}{sin45°}}$=$\frac{\sqrt{2}m}{2qB}$．
所以粒子从O点运动至P点所用的时间t=$\frac{2πm+3\sqrt{2}m}{6qB}$．
答：（1）匀强电场的电场强度E的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$．
（2）撤去磁场时粒子所在位置的坐标为（$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$\frac{m{v}_{0}}{qB}$）．
（3）粒子从O点运动至P点所用的时间t为$\frac{2πm+3\sqrt{2}m}{6qB}$．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子的运动过程，应用类平抛运动规律、牛顿第二定律与粒子的周期公式即可正确解题．

练习册系列答案
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5．某同学用如图1所示电路，测绘标有“3.8V，0.6A”的小灯泡的灯丝电阻R随电压U变化的图象（图2）．

①除了导线和开关外，有以下一些器材可供选择：
电流表：A 1（量程100mA，内阻约2Ω）  A2 （量程0.6A，内阻约0.3Ω）；
电压表：V1（量程5V，内阻约5Ω）  V2（量程15V，内阻约15Ω）；
电源：E1（电动势为1.5V，内阻为0.2Ω）  E2（电动势为4V，内阻约为0.04Ω）
滑动变阻器：R1（0-10Ω），R2（0-200Ω）
为了调节方便，测量准确，实验中应选用电流表A2，电压表V1，滑动变阻器R1，电源E2．（填器材的符号）
②画出实验电路图
③根据R-U图象，可确定小灯泡耗电功率P与外加电压U的关系，符合该关系的示意图是图3中的A．
6．关于下列情况中的物体可否看作质点，判断正确的是（　　）
A．研究乒乓球的接发球技术，乒乓球视为质点
B．分析高射炮弹的轨迹长度，炮弹可视为质点
C．研究地球的自转，地球可视为质点
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10．如图所示，把质量为20kg的物体B用细绳悬挂在水平横梁的滑环A上，B的重心到横梁的距离为2m，A、B正以3m/s的速度向右做匀速运动．当滑环A突然停止时，绳对物体B的拉力是多少？（取g=10m/g2）
20．如图甲所示，在平行容器M、N间加有如图乙所示的电压U0=40V，当t=0时，一个电荷量q为1×10-15C，质量m为1×10-16kg的带负电粒子从靠近N板处由静止开始运动，经1×10-2s到达两板正中间的P点，已知平行班电容器的电容为30μF，求：
（1）当t=0.5×10-2s时，N板带电荷量（正电还是负电）；
（2）极板M、N之间的距离和电场强度；
（3）当t=3×10-2s时，粒子所在的位置和速度大小．
6．如图1所示，螺线管内有一平行于轴线的匀强磁场，规定图中箭头所示方向为磁感应强度B的正方向，螺线管与U型导线框cdef相连，导线框cdef内有一半径很小的金属圆环L，圆环与导线框cdef在同一平面内．当螺线管内的磁感应强度随时间按图2所示规律变化时（　　）
A．在t1-t2时间内，金属圆环L有收缩趋势
B．在t1时刻，金属圆环L内的磁通量最大
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3．一本书放在水平桌面上，下列说法正确的是（　　）
A．桌面受到的压力实际就是书的重力
B．桌面受到的压力是由桌面形变形成的
C．桌面对书的支持力与书对桌面的压力是一对平衡力
D．桌面对书的支持力与书对桌面的压力一定大小相等，而且为同一性质的力
4．某行星半径为R．若观测到有一颗卫星在离此行星表面高为h的轨道上做匀速圆周运动，且周期运动为T，试估算：
（1）此行星的质量多大？
（2）此行星的密度多大？（万有引力恒量为G）

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