Question

20．如图所示，一个质量为m的小球沿水平轨道向左运动，以速度V通过O点后，进入半径为R的半圆弧轨道，恰能通过最高点C，然后落回水平面．不计一切阻力．求：
（1）小球落地点离O点的水平距离为多少？
（2）小球落地时的速度如何？
（3）求小球运动到半圆弧O点时对轨道的压力大小．

Answer 1

分析 （1）（2）到达最高点对轨道无压力，根据牛顿第二定律求得速度，从最高点做平抛运动，求得通过的水平位移和落地时的速度；
（3）根据牛顿第二定律求得在O点对轨道的作用力

解答 解：（1）由题意：小球恰好通过最高点C时，对轨道压力N=0
$mg=\frac{{mv}_{C}^{2}}{R}$
解得：${v}_{C}=\sqrt{gR}$
落到地面上时，根据运动学公式可得：
$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
运动时间为：$t=\sqrt{\frac{4R}{g}}$=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
水平位移为：X=v_ct=2R 
（2）水平速度为：V₀=$\sqrt{gR}$    
竖直分速度为：V_y=gt=2$\sqrt{gR}$
V=$\sqrt{{v}_{0}^{2}{+v}_{y}^{2}}=\sqrt{5gR}$
设速度方向与水平成θ角，则tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=2
（3）设小球经过O点时与管子间的作用力为F_N，到O点后在圆弧面有：
F_N-mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
F_N=mg+$\frac{m{v}^{2}}{R}$
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力为：
F_N=mg+$\frac{m{v}^{2}}{R}$
答：（1）小球落地点离O点的水平距离为2R
（2）小球落地时的速度为$\sqrt{5gR}$，与水平方向的夹角的正切值为2
（3）求小球运动到半圆弧O点时对轨道的压力大小为mg+$\frac{m{v}^{2}}{R}$

点评 解决本题的关键知道小球恰好到达最高点的临界情况，以及掌握平抛运动的处理方法