Question

13．轻弹簧原长为2L，将弹簧竖直的放在水平地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止时放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为L，且弹簧的形变在弹性限度内．现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5L的水平轨道，B端与半径为L的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，C点与圆弧的圆心在同一水平高度，如图所示．物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5．用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度L，然后放开P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g．
（1）弹簧压缩至长度L时的弹性势能E_P；
（2）若P能沿圆弧轨道运动到最高点D，求P的质量m₀的取值范围；
（3）若P能滑上圆弧轨道恰好运动到C点，求P的质量M及在AB面上运动的路程S．

Answer 1

分析 （1）根据系统的机械能守恒求出弹簧最大的弹性势能；
（2）在D点，弹力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式；再对从P到D过程根据能量守恒定律列式求解；
（3）对从P到C点过程根据能量守恒定律列式求解P的质量M，再对运动全程根据功能关系列式求解在AB面上运动的路程S．

解答 解：（1）将弹簧竖直放置在地面上，物体下落压缩弹簧时，长度被压缩了L时，物体的动能为零，由系统的机械能守恒得：E_p=5mgL；
（2）P能沿圆弧轨道运动到最高点D，设P的质量为m₀，在D点时的速度大小为v_D，轨道对P的压力大小为N，则在D点有：N+m₀g=m₀$\frac{{v}_{D}^{2}}{L}$，
因为N≥0，从释放点到D点，由能量守恒定律，有：
E_p=$μ{m}_{0}g•4L+\frac{1}{2}{m}_{0}{v}_{D}^{2}+{m}_{0}g•2L$    
解得：m₀≤$\frac{10}{9}$m；
（3）若P能滑上圆弧轨道恰好运动到C点的速度为零，根据能量守恒定律：E_p=μMg•4L+MgL，
解得：M=$\frac{5}{3}m$，
从C点返回至AB面，假设在P碰到弹簧之前就停下，此处距B点的距离为x，则：
MgL-μMgx=0，
解得：x=2L，
可见返回过程中P与弹簧没有接触，则：
S=x+4L=6L；
答：（1）弹簧压缩至长度L时的弹性势能E_P为5mgL；
（2）若P能沿圆弧轨道运动到最高点D，P的质量m₀的取值范围为m₀≤$\frac{10}{9}$m；
（3）若P能滑上圆弧轨道恰好运动到C点，P的质量M为$\frac{5}{3}m$，在AB面上运动的路程S为6L．

点评 解决本题时要抓住弹簧的形变量相等时弹性势能相等这一隐含的条件，正确分析能量是如何转化，分段运用能量守恒定律列式是关键．