Question

3．已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v=$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，其中G、M、R分别是万有引力常量、地球的质量和半径．已知G=6.67×10^-1，光速c=2.9979×10⁸ m/s．（计算结果保留一位有效数据）
（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞．设某黑洞的质量等于太阳的质量M=1.98×10³⁰kg，求它的可能最大半径．（计算结果保留一位有效数据）
（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10^-27kg/m³，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它们的逃逸速度大于光在真空中速度c，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？
（计算结果保留两位有效数据）

Answer 1

分析 （1）任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速，根据c≤$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，即可求解；
（2）根据质量与密度的关系先求出质量，根据（1）的分析即可求解．

解答 解：（1）由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度v₂=$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，
其中M、R为天体的质量和半径．
对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速，
即v₂＞c，
所以?R＜$\frac{2GM}{{C}^{2}}$=$\frac{2×6.7×1{0}^{-11}×1.98×1{0}^{30}}{（2.9979×1{0}^{8}）^{2}}$m=2.94×10³ m．
故最大半径为2.94×10³ m．
（2）M=ρ•$\frac{4}{3}$πR³，其中R为宇宙的半径，ρ为宇宙的密度，
则宇宙所对应的逃逸速度为v₂=$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，
即v₂＞c，
则R＞$\sqrt{\frac{3{C}^{2}}{8πρG}}$=4.01×10²⁶ m，
合4.24×10¹⁰光年．
即宇宙的半径至少为4.24×10¹⁰光年．
答：（1）它的可能最大半径为2.94×10³ m．
（2）宇宙的半径至少应为4.24×10¹⁰光年．

点评 本题考查了万有引力定律定律及圆周运动向心力公式的直接应用，要注意任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速．