Question

5．把火星和地球都视为质量均匀分布的球体．已知地球半径约为火星半径的2倍，地球质量约为火星质量的10倍．由这些数据可推算出（　　）

• A． 地球和火星的第一宇宙速度之比为$\sqrt{5}$：1
• B． 地球和大星的第一宇宙速度之比为$\sqrt{10}$：1
• C． 地球表面和火星表面的重力加速度之比为5：1
• D． 地球表面和火星表面的重力加速度之比为10：1

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力求出第一速度的大小，从而得出第一宇宙速度之比
（2）根据万有引力等于重力得出重力加速度的表达式，从而得出重力加速度之比．

解答 解：根据万有引力提供向心力为：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
第一宇宙速度公式有：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
$\frac{{v}_{地}^{\;}}{{v}_{火}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{火}^{\;}}\frac{{R}_{火}^{\;}}{{R}_{地}^{\;}}}=\sqrt{\frac{10}{1}×\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{1}$，故A正确，B错误．
根据$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$得重力加速度公式为：$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$
$\frac{{g}_{地}^{\;}}{{g}_{火}^{\;}}=\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{火}^{\;}}\frac{{R}_{火}^{2}}{{R}_{地}^{2}}=\frac{10}{1}×\frac{1}{4}=\frac{5}{2}$，故CD错误
故选：A

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力和万有引力提供向心力这两个理论，并能灵活运用．