Question

16．假设宇航员乘坐宇宙飞船到某行星科学考擦，当宇宙飞船在靠近该行星表面做匀速圆周运送时，测得环绕周期为T，已知该行星的半径为R，引力常量为G．求：
（1）该星球表面重力加速度；
（2）该行星的密度．

Answer 1

分析 （1）飞船绕星球做圆周运动，万有引力提供向心力，应用牛顿第二定律求出重力加速度．
（2）应用牛顿第二定律求出行星的质量，然后求出行星的密度．

解答 解：（1）飞船绕行星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，
星球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，
解得：g=$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$；
（2）飞船绕行星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，
行星的密度：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，
解得：ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$；
答：（1）该星球表面重力加速度为$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$；
（2）该行星的密度为$\frac{3π}{G{T}^{2}}$．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，考查了求重力加速度与行星密度问题，知道万有引力提供飞船做圆周运动的向心力是解题的关键，应用万有引力公式、牛顿第二定律与密度公式可以解题．