Question

7．如图所示，质量M=20kg的物体从光滑曲面上高度H=0.8m处释放，到达底端时水平进入水平传送带，传送带由一电动机驱动着匀速向左转动，速率为3m/s．已知物体与传送带间的动摩擦因数0.1．（g取10m/s²）．求：
（1）若两皮带轮之间的距离是10m，物体冲上传送带后就移走光滑曲面，物体将从哪一边离开传送带？通过计算说明你的结论．
（2）若皮带轮间的距离足够大，从M滑上到离开传送带的整个过程中，由于M和传送带间的摩擦而产生了多少热量？

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律可求得物体滑到曲面底部时的速度，再由动能定理求出物体的速度减至零时在传送带上滑行的距离，再进行判断；
（2）热量等于摩擦力与相对位移间的乘积，由运动学公式求得相对位移，由Q=Fs可求得热量．

解答 解：（1）物体从曲面上下滑时机械能守恒，有 mgH=$\frac{1}{2}$mv₀²
解得物体滑到曲面底端时的速度 v₀=$\sqrt{2gH}$=$\sqrt{2×10×0.8}$m/s=4m/s
以地面为参照系，物体滑上传送带后先向右做匀减速运动，设其速度减至零时向右运动的位移为x．由动能定理得
-μmgs=0-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得 s=8m＜10m
之后在传送带的带动下物体将传送带左端离开．
（2）物体运动的加速度大小为 a=$\frac{μmg}{m}$=μg=0.1×10=1m/s²；
物体滑上传送带后向右做匀减速运动的时间为t，则t=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{4}{1}$=4s
这段时间内皮带向左运动的位移大小为 s₁=vt=3×4m=12m
物体相对于传送带滑行的距离为△S₁=s₁+s=8+12=20m
物体与传送带间产生的热量为 Q₁=μMg•△S₁=0.1×200×20=400J；
物体向左运动的过程中，根据对称性知，若物体向左一直做匀加速运动，回到传送带左端时速度将为4m/s，大于3m/s，不可能，所以物体向左匀加速的末速度等于传送带的速度，设向左匀加速运动的时间为t′．则
   t′=$\frac{v}{a}$=$\frac{3}{1}$=3s
这段时间内物体相对于传送带滑行的距离为△S₂=vt′-$\frac{vt′}{2}$=$\frac{vt′}{2}$=$\frac{3×3}{2}$m=4.5m
物体与传送带间产生的热量为 Q₂=μMg•△S₂=0.1×200×4.5=90J；
所以产生的总热量为 Q=Q₁+Q₂=490J
答：（1）若两皮带轮之间的距离是10m，物体将从左边离开传送带；
（2）M和传送带间的摩擦而产生的热量为490J．

点评 传送带类题目的关键要分析物体的运动过程，要注意摩擦产生的热量为摩擦力与相对位移间的乘积，运用牛顿第二定律和运动学公式结合分析．