Question

12．某星球可视质量均匀分布的球体，其半径为R，一卫星在距该星球表面高度为2R的圆轨道上做匀速圆周运动，周期为T，万有引力常量为G，下列说法中正确的是（　　）

• A． 卫星运行的加速度大小为$\frac{8{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
• B． 该星球的第一宇宙速度大小为$\frac{2πR}{T}$
• C． 该星球表面的重力加速度大小为$\frac{108{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
• D． 该星球的密度为$\frac{81π}{GT}$

Answer 1

分析 根据自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力讨论即可．

解答 解：A、已知半径与周期，由公式可得：a=$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
而r=R+2R=3R
所以：a=$\frac{12{π}^{2}R}{{T}^{2}}$．故A错误；
B、根据T=$\frac{2πr}{v}$，所以卫星在3R轨道上的线速度：v=$\frac{6πR}{T}$
根据：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$可知，该星球的第一宇宙速度大小为：$v′=\sqrt{3}v=\frac{6\sqrt{3}πR}{T}$．故B错误；
C、根据星球表面的重力近似等于万有引力，重力提供向心力可得：g=$\frac{v{′}^{2}}{R}$=$\frac{108{π}^{2}R}{{T}^{2}}$．故C正确；
D、设星球的质量为M，卫星的质量为m，重力提供向心力可得：$\frac{GMm}{{9R}^{2}}$=$\frac{m•4{π}^{2}•3R}{{T}^{2}}$
而：M=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$
联立得：ρ=$\frac{81π}{G{T}^{2}}$．故D错误
故选：C

点评 本题关键是根据万有引力提供圆周运动向心力和万有引力等于重力求解．