Question

7．如图所示，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标（-1，0），MN与y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{el}$，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场（图中未画出），现有一质量为m、电荷量为e的电子，从虚线MN上的P点，以平行于x轴正方向的初速度v₀射入电场，并从y轴上A点（0，0.5l）射出电场，此后，电子做匀速直线运动，进入磁场井从圆形有界磁场 边界上Q点（$\frac{\sqrt{3}l}{6}$，-l）射出，速度沿x轴负方向．不计电子重力．求：
（1）电子到达A点的速度；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）圆形有界匀强磁场区域的最小面积S是多大？

Answer 1

分析 （1）电子在电场中做类似平抛运动，水平分运动是匀速直线运动，竖直分运动是匀加速直线运动，已知末速度的方向，结合运动的分解与合成求解末速度；
（2）由几何关系可确定OD的距离，再由运动的分解可列出速度间的关系式，最后由运动轨迹的半径公式，借助于已知长度，来确定磁感应强度大小；
（3）以切点F、Q为直径的圆形有界匀强磁场区域的半径最小，从而根据几何的关系，并由面积公式即可求解．

解答 解：（1）在A点，速度的水平分量为v₀，故A点速度为：

v=$\frac{{v}_{0}}{sin30°}$=2v₀
（2）设轨迹与x轴的交点为D，OD距离为x_D，则
x_D=0.5ltan30°
x_D=$\frac{\sqrt{3}}{6}l$
所以，DQ平行于y轴，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道的圆心在DQ上，电子运动轨迹如图所示．设电子离开电场时速度为v，在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r，则
v₀=vsin30°
根据牛顿第二定律，有：
$evB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：
r=$\frac{mv}{eB}$=$\frac{2m{v}_{0}}{eB}$
结合几何关系，有：
r+$\frac{r}{sin30°}$=l（有r=$\frac{1}{3}$l） 
解得：B=$\frac{6m{v}_{0}}{el}$
（3）以切点F、Q为直径的圆形有界匀强磁场区域的半径最小，设为 r₁，则
r₁=rcos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r=$\frac{\sqrt{3}}{6}$l
最小面积为，S=π${r}_{1}^{2}$=$\frac{π{l}^{2}}{12}$
答：（1）电子到达A点的速度为2v₀；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{6m{v}_{0}}{el}$
（3）圆形有界匀强磁场区域的最小面积S是$\frac{π{l}^{2}}{12}$．

点评 粒子做类平抛时，要运用运动的合成与分解的知识分析；在做匀速圆周运动时，由半径公式与几何关系来巧妙应用，从而培养学生在电学与力学综合解题的能力．注意区别磁场的圆形与运动的轨迹的圆形的半径不同．