Question

10．如图所示，某皮带传动装置与水平面夹角为30°，两轮轴心相距L=2m，A、B分别是传送带与两轮的切点，传送带不打滑．现传送带沿顺时针方向以v=2.5m/s的速度匀速运动，将与小物块轻轻地放置于A点，小物块与传送带间的动摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，g取10m/s²．试求：
（1）小物块运动至B点的时间；
（2）若传送带速度可以任意调节，当小物块在A点以v₀=3$\sqrt{6}$m/s的速度沿传送带向上运动时，小物块到达B点的速度范围．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律和运动学公式分析小物块的运动情况．先由牛顿第二定律求出小物块沿传送带向下匀加速运动的加速度，由运动学公式求出物块速度与传送带相等时所经过的时间和通过的位移，判断物块的速度与传动带速度相等以后物体的运动情况，再求解运动时间．
（2）小物块从A到B一直做匀加速直线运动，到达B点的速度最大；小物块从A到B一直做匀减速直线运动，到达B点的速度最小，根据位移速度关系求解速度大小，由此确定速度范围．

解答 解：（1）开始小物块受到竖直向下的重力、垂直传送带向上的支持力和沿传送带斜向上的摩擦力作用，做匀加速直线运动，设加速度为a₁，根据牛顿第二定律可得：
μmgcos30°-mgsin30°=ma₁，
代入数据解得：a₁=2.5m/s²，
当小物块速度等于2.5m/s时，设小物块对地位移为L₁，用时为t₁，根据匀加速直线运动规律有：
t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{2.5}{2.5}s=1s$，
L₁=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{2．{5}^{2}}{2×2.5}m=1.25m$，
由于L₁＜L 且μ＞tan30°，当小物块速度等于2.5m/s时，小物块将匀速直线运动至B点，
设用时为t₂，根据匀速直线运动规律可得：${t}_{2}=\frac{L-{L}_{1}}{v}=0.3s$，
故小物块由静止出发从A到B所用时间为：t=t₁+t₂=1.3s；          
（2）由于传送带的速度可以任意调节，则小物块从A到B一直做匀加速直线运动，到达B点的速度最大，
根据位移速度关系可得：${v}_{B}^{2}-{v}_{0}^{2}=2{a}_{1}L$，
代入数据解得：v_B=8m/s；
小物块从A到B一直做匀减速直线运动，到达B点的速度最小，根据牛顿第二定律可得：
μmgcos30°+mgsin30°=ma₂，
代入数据解得：a₂=12.5m/s²，
由运动学公式可得：${v′}_{B}^{2}={v}_{0}^{2}-2{a}_{2}L$，
代入数据解得：v_B′=2m/s；
即物块到达B点的速度范围为2m/s≤v_B≤8m/s．
答：（1）小物块运动至B点的时间为1.3s；
（2）若传送带速度可以任意调节，当小物块在A点以v₀=3$\sqrt{6}$m/s的速度沿传送带向上运动时，小物块到达B点的速度范围为2m/s≤v_B≤8m/s．

点评 本题主要是考查了传送带问题，解决本题的关键理清物块的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解．