Question

如图所示，水平放置的圆盘上，在其边缘 C 点固定一个小桶，桶的高度不计，圆盘半径为 R=1m，在圆盘直径 CD 的正上方，与 CD 平行放置一条水平滑道 AB，滑道右端 B 与圆盘圆心 O 在同一竖直线上，且 B 点距离圆盘圆心的竖直高度 h=1.25m，在滑道左端静止放置质量为 m=0.4kg的物块（可视为质点），物块与滑道的动摩擦因数为 μ=0.2，现用力 F=4N的水平作用力拉动物块，同时圆盘从图示位置，以角速度ω=2π  rad/s，绕通过圆心 O 的竖直轴匀速转动，拉力作用在物块一段时间后撤掉，最终物块由B 点水平抛出，恰好落入圆盘边缘的小桶内．重力加速度取10m/s²．
（1）若拉力作用时间为0.5s，求所需滑道的长度；
（2）求拉力作用的最短时间．

Answer 1

分析：（1）物块离开B点后做平抛运动，可以求出平抛运动的时间和平抛运动的初速度，物块在滑道上先匀加速运动再匀减速运动，两个运动的位移之和为滑道的长度．
（2）若圆盘转一圈，物块恰好调入小桶，此时作用力时间最短．圆盘转一圈的时间与匀加速运动、匀减速运动、平抛运动三个时间之和相等．

解答：解：（1）物块平抛：h=

1

2

gt2；t=

2h g

=0.5s
物块离开滑道时的速度：v=

R

t

=2m/s
拉动物块的加速度，由牛顿第二定律：F-μmg=ma₁；得：a1=8m/s2
撤去外力后，由牛顿第二定律：-μmg=ma₂；得：a2=-2m/s2
匀加速运动的位移x₁=

1

2

a1t12=

1

2

×8×0.25m=1m，匀加速运动的速度v1=a₁t₁=4m/s．
匀减速运动的位移x₂=

v2-v12

2a2

=3m．
板长L=x₁+x₂=4m．
故所需滑道的长度为4m．
（2）盘转过一圈时落入，拉力时间最短；
盘转过一圈时间：T=

2π

ω

=1s；
物块在滑道上先加速后减速，最终获得：v=a₁t₁-a₂t₂
物块滑行时间、抛出在空中时间与圆盘周期关系：t₁+t₂+t=T
由上两式得：t₁=0.3s
故拉力作用的最短时间为0.3s．

点评：解决本题的关键知道物块整个过程的运动：匀加速直线运动、匀减速直线运动和平抛运动，知道三个过程的运动时间与圆盘转动的时间相等．以及熟练运用运动学公式．