Question

13．如图所示，竖直平面内一光滑的四分之一圆轨道与足够长的水平传送带相切于最低点，圆轨道半径为3.2m，传送带以4m/s的恒定速率沿顺时针方向运动，质量为1kg的小物块从圆轨道遁的最高点由静止释放．已知小物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.4，g取10m/s²．求：
（1）小物块在圆轨道最低点时对轨道的压力大小；
（2）小物块从滑上传送带到第一次离开传送带所用的时间．

Answer 1

分析 （1）小物块在光滑的四分之一圆轨道上下滑的过程中，只有重力做功，根据动能定理求出物块运动到圆轨道最低点的速度大小．根据牛顿第二定律求出物块在最低点受到的支持力，从而得到物块对轨道的压力．
（2）根据牛顿第二定律求出物块刚滑上传送带时的加速度大小．物块滑上传送带后，先做匀减速直线运动到零，然后反向做匀加速直线运动，达到传送带速度做匀速直线运动，结合运动学公式求出三段过程中的时间，从而得出总时间．

解答 解：（1）小物块在光滑的四分之一圆轨道上下滑的过程，根据动能定理得：
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$…①
解得：v₁=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×3.2}$=8m/s
在最低点，根据牛顿第二定律得
   N-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
联立解得 N=3mg=30N
由牛顿第三定律得，小物块在圆轨道最低点时对轨道的压力大小 N′=N=30N          
（2）设物块刚滑上传送带时的加速度大小为a．
根据牛顿第二定律得：μmg=ma…②
解得：a=μg=0.4×10m/s²=4m/s²     
小物块先向左做匀减速直线运动，直至速度为零，设这段时间为t₁，运动的位移为x₁；再向右做匀加速直线运动，直至速度达到传送带速度v₂，设这段时间为t₂，运动的位移为x₂；最后以速度v₂向右做匀速运动直到离开传送带，设这段时间为t₃．
 0=v₁-at₁ …③
 x₁=$\frac{{v}_{1}}{2}$t₁…④
代入数据解得：t₁=2s   x₁=8m； 
设传送带的速度为v₂．
物块返回做匀加速直线运动阶段，v₂=at₂…⑤
  x₂=$\frac{1}{2}$at₂²…⑥
代入数据解得：t₂=1s   x₂=2m； 
匀速直线运动阶段，x₁-x₂=v₂t₃…⑦
代入数据解得：t₃=1.5s                         
所以总时间为：t=t₁+t₂+t₃=2+1+1.5s=4.5s
答：（1）小物块在圆轨道最低点时对轨道的压力大小是30N；
（2）小物块从滑上传送带到第一次离开传送带所用的时间是4.5s．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，要理清物块在传送带上整个过程中的运动情况，知道圆周运动的向心力由指向圆心的合力提供，结合运动学公式灵活求解．