Question

5．假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g₀，赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G．则地球的密度为（　　）

• A． $\frac{3π（{g}_{0}-g）}{G{T}^{2}{g}_{0}}$
• B． $\frac{3π{g}_{0}}{G{T}^{2}（{g}_{0}-g）}$
• C． $\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． $\frac{3π{g}_{0}}{G{T}^{2}g}$

Answer 1

分析 分别写出赤道上物体的向心力与地球表面物体的万有引力的表达式，结合质量与球体体积的表达式，联立即可求出．

解答 解：地球两极的物体受到的万有引力等于重力，所以：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$
赤道上的物体需要的向心力：
${F}_{n}=m（\frac{2π}{T}）^{2}•R$
则：mg=mg₀-F_n
联立可得：$R=\frac{{g}_{0}-g}{4{π}^{2}}•{T}^{2}$
地球的质量：M=$\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$
又：M=ρV=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$
所以：$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G•\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3{g}_{0}}{4πGR}$=$\frac{3{g}_{0}}{4πG}•\frac{4{π}^{2}}{（{g}_{0}-g）{T}^{2}}$=$\frac{3π{g}_{0}}{G{T}^{2}（{g}_{0}-g）}$
故选：B

点评 该题结合地球表面的重力加速度的变化情况来考察对万有引力定律的应用和对重力加速度的理解，是一道理论结合实际的好题．