Question

11．如图所示，AB是与水平方向成θ=37°的斜面轨道，轨道的AC部分光滑，CB部分粗糙，BP为圆心角等于143°，半径R=3m的竖直光滑圆弧形轨道，两轨道相切于B点，P、O两点在同一竖直线上，轻弹簧一端固定在A点，另一端在斜面上C点处，现有一质量m=4kg的物块在外力作用下将弹簧缓慢压缩到D点后（不栓接）释放，物块经过C点时速度为18m/s，$\overline{CD}$=2m，物块与斜面CB部分之间的动摩擦因数μ=0.5，X_BC=9m，P处安装一个竖直弹性薄挡板，小物块与挡板碰撞后以原速率弹回，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．
（1）物块从D点运动到C点的过程中，弹簧对物块所做的功；
（2）物块第一次到达P点的速度；
（3）物块第一次返回斜面后将弹簧压缩至最短点E（E为DC的中点），则此时弹簧的弹性势能；
（4）整个运动过程中，物块在斜面上运动时可以有多少次通过CB之间的M点（M与C相距0.5m）

Answer 1

分析 （1）从D到C的过程中，根据动能定理列式求出弹簧对物块所做的功；
（2）从C到P的过程的过程中，根据动能定理求解速度；
（3）根据第一问的解析可知，在D点弹簧的弹性势能，结合弹性势能表达式${E}_{P}=\frac{1}{2}k△{x}^{2}$求解；
（4）由于只有BC段粗糙，所以只有在BC段运动时才有能量损失，求出每次损失的能量，根据功能关系求解即可．

解答 解：（1）从D到C的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-0={W}_{弹}-mg{x}_{CD}sin37°$
解得：W_弹=696J
（2）从C到P的过程的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=-μmgcos37°{x}_{BC}$-mg（x_BCsin37°+Rcos37°+R）
解得：${v}_{p}=\sqrt{37}m/s$
（3）根据第一问的解析可知，在D点弹簧的弹性势能为E_PD=W_弹=696J
根据${E}_{P}=\frac{1}{2}k△{x}^{2}$且E为DC的中点，可知，${E}_{PE}=\frac{1}{4}{E}_{PD}=174J$
（4）由于只有BC段粗糙，所以只有在BC段运动时才有能量损失，每次损失的能量△E=μmgcos37°x_BC=0.5×40×0.8×9=144J
物体在C点具有的初始能量E=$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=628J$，
则物体从P点返回C点时，具有的能量E₁=628-2×144=340J，
再次向上运动到B点的能量E₂=E₁-△E=340-144=196J
再次回到C点的能量E₃=196-144=52J，
此后物体不能到达B点，
设能上升的高度为h，根据动能定理得：
0-E₃=$-mgh-μmgcos37°\frac{h}{sin37°}$
解得：h=0.78m
而C点距离M点的高度h′=x_CMsin37°=0.5×0.6=0.3m＜0.78m
所以物体能通过M点，
由于mgsin37°＞μmgcos37°，所以物体还会滑下运动到C点，
此后不能上升到M点，所以共经过M点6次．
答：（1）物块从D点运动到C点的过程中，弹簧对物块所做的功为696J；
（2）物块第一次到达P点的速度为$\sqrt{37}m/s$；
（3）物块第一次返回斜面后将弹簧压缩至最短点E（E为DC的中点），则此时弹簧的弹性势能为174J；
（4）整个运动过程中，物块在斜面上运动时可以有6次通过CB之间的M点．

点评 本题主要考查了动能定理、弹性势能表达式的直接应用，解题的关键是分析清楚物块的受力情况和运动情况，注意几何关系在解题中的应用，难度较大．