Question

15．如图所示，质量分别为m，2m的两小球a，b固定在长为L的轻杆两端，杆可绕中点O在竖直平面内无摩擦转动，今在水平位置由静止释放，在b球运动至最低点的过程中，试分析：
（1）小球a机械能是否守恒？
（2）小球b运动到最低点时的速度大小？
（3）轻杆对小球a是否做功？如果做功，做功为多少？
（4）轻杆对小球b是否做功？如果做功，做功为多少？及轻杆对小球a、b做功的代数和？

Answer 1

分析 （1）在b球运动至最低点的过程中，a球的速度和高度都增大，所以a的动能和势能都增大，机械能增大；
（2）AB组成的系统，只有重力做功，根据动能定理列式，共轴转动，角速度相等，而半径相等，根据v=ωr求出半径关系，联立方程即可求解速度；
（3）对a球运动过程中，根据动能定理求出杆子做的功；
（4）对b球运动过程中，根据动能定理求出杆子做的功，从而求出轻杆对小球a、b做功的代数和．

解答 解：（1）在水平位置由静止释放，在b球运动至最低点的过程中，a球的速度和高度都增大，所以a的动能和势能都增大，机械能增大，不守恒；
（2）AB组成的系统，只有重力做功，根据动能定理得：
2mg$\frac{L}{2}$-mg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}•2m{{v}_{b}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{a}}^{2}$，
共轴转动，角速度相等，而半径相等，根据v=ωr则有v_a=v_b，
解得：${v}_{a}{=v}_{b}=\sqrt{\frac{gL}{3}}$
（3）对a球运动过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{a}}^{2}-0=-mg•\frac{L}{2}+{W}_{杆}$
解得：${W}_{杆}=\frac{2}{3}mgL$
（4）对b球运动过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}•2m{{v}_{b}}^{2}-0=2mg•\frac{L}{2}+{W}_{杆}′$
解得：${W}_{杆}′=-\frac{2}{3}mgL$
则轻杆对小球a、b做功的代数和W=${W}_{杆}+{W}_{杆}′=\frac{2}{3}mgL-\frac{2}{3}mgL=0$
答：（1）小球a机械能不守恒；
（2）小球b运动到最低点时的速度大小为$\sqrt{\frac{gL}{3}}$；
（3）轻杆对小球a做功，做功为$\frac{2}{3}mgL$；
（4）轻杆对小球b做功，做功为$-\frac{2}{3}mgL$，轻杆对小球a、b做功的代数和为0．

点评 本题关键是A知道、B球机械能均不守恒，能根据动能定理解题，最后发现轻杆对小球a、b做功的代数和为0，所以AB组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒．