Question

1．如图所示，一长度LAB=4.98m，倾角θ=30°的光滑斜面AB 和一固定粗糙水平台BC 平滑连接，水平台长度LBC=0.4m，离地面高度H=1.4m，在C 处有一挡板，小物块与挡板碰撞后原速率反弹，下方有一半球体与水平台相切，整个轨道处于竖直平面内．在斜面顶端A 处静止释放质量为m=2kg 的小物块（可视为质点），忽略空气阻力，小物块与BC 间的动摩擦因素μ=0.1，g 取10m/s²．问：

（1）小物块第一次与挡板碰撞前的速度大小；
（2）小物块经过B 点多少次停下来，在BC 上运动的总路程为多少；
（3）某一次小物块与挡板碰撞反弹后拿走挡板，最后小物块落在D 点，已知半球体半径r=0.75m，OD 与水平面夹角为α=53°，求小物块与挡板第几次碰撞后拿走挡板？（取sin53°=$\frac{4}{5}$，cos53°=$\frac{3}{5}$）

Answer 1

分析 （1）小物块从A到C的过程，运用动能定理可求出小物块第一次与挡板碰撞前的速度．
（2）小物块从A到停止运动的整个过程，运用动能定理求出在BC上滑行的总路程，再结合BC的长度，分析经过B点的次数．
（3）拿走挡板，小物块离开C点后做平抛运动，由几何关系和平抛运动的规律结合解答．

解答 解：（1）小物块从A到C的过程，运用动能定理得：
mgL_ABsinθ-μmgL_BC=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得：v_C=7m/s
（2）小物块从A到停止，设小物块在BC上运动的总路程为S，对整个过程，由动能定理得：
mgL_ABsinθ-μmgS=0
解得：S=24.9m
经过B点在水平台走过一个来回的路程为：S₁=0.8m
 $\frac{S}{{S}_{1}}$=$\frac{24.9}{0.8}$=31.125
所以经过B点的次数为：n=31×2+1=63（次）
（3）由几何关系可知，CD间的水平距离为：x=r+rcosα
竖直距离为：h=H-rsinα
由平抛运动的规律得：
x=v′_Ct
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
联立解得：v′_C=3m/s
A到C，由动能定理得：
mgL_ABsinθ-μmg（2n′+1）L_BC=$\frac{1}{2}mv{′}_{C}^{2}$
解得：n′=25
答：（1）小物块第一次与挡板碰撞前的速度大小是7m/s；
（2）小物块经过B 点63次停下来，在BC 上运动的总路程为24.9m；
（3）小物块与挡板第25次碰撞后拿走挡板．

点评 解决本题的关键要熟练运用动能定理，运用动能定理时要灵活选择研究的过程，要知道滑动摩擦力做功与总路程有关．