Question

11．如图所示，两完全相同的金属棒垂直放在水平光滑导轨上，其质量均为m=1kg，导轨间距d=0.5m，现两棒并齐，中间夹一长度不计的轻质压缩弹簧，弹簧弹性势能为E_p=16J．现释放弹簧（与两棒不拴接），两金属棒获得大小相等的速度，且ab棒平行导轨进入一随时间变化的磁场，已知B=2+0.5t（单位：T），方向垂直导轨平面向下，导轨上另有两个挡块P、Q，cd棒与之碰撞时无能量损失，Pc=aM=16m，两棒电阻均为R=5Ω，导轨电阻不计，若从释放弹簧时开始计时（不考虑弹簧弹开两棒的时间），在ab棒进入磁场边界的瞬间，加一外力F（大小和方向都可以变化），使之始终做加速度a=0.5m/s²的匀减速直线运动，求：
（1）ab棒刚进入磁场时的外力F的大小与方向；
（2）ab棒速度为零时所受到的安培力．

Answer 1

分析 （1）先根据能量守恒求出ab棒释放后获得的速度v₀，由运动学公式求出ab棒运动到MN所用时间，即可求得ab棒刚进入磁场时磁感应强度，再根据安培力公式和牛顿第二定律求解．
（2）ab棒进入磁场后，又经t₂=$\frac{{v}_{0}}{a}$=8s速度变为零，而此段时间内cd棒与PQ碰撞后反向运动，恰好在t₂时刻到达磁场边界MN，由法拉第定律求出感应电动势，结合B=2+0.5t，求出位移，从而得到安培力．

解答 解：（1）弹簧弹开时，两棒获得速度大小均为v₀，则E_p=2×$\frac{1}{2}$mv₀²，
得v₀=4m/s
ab棒经t₁=$\frac{aM}{{v}_{0}}$=$\frac{16}{4}$s=4s
进入磁场，此时磁感应强度为 B₁=2+0.5×4T=4T，
ab棒受到的安培力 F_安=$\frac{{B}_{1}^{2}{d}^{2}{v}_{0}}{2R}$=1.6N．
依牛顿第二定律   F_安-F=ma，
得所加外力  F=F_安-ma=1.1N，方向向右．
（2）ab棒进入磁场后，又经t₂=$\frac{{v}_{0}}{a}$=8s速度变为零，而此段时间内cd棒与PQ碰撞后反向运动，恰好在t₂时刻到达磁场边界MN，故此时的电动势为
  E=B₂dv₀-$\frac{△Φ}{△t}$=B₂dv₀-$\frac{△Bdx}{△t}$
其中B₂=2+0.5×12T=8T，x为ab棒通过的位移x=$\frac{{v}_{0}{t}_{2}}{2}$=16m
代入上式解得 E=12V，I=$\frac{E}{2R}$=1.2A
故此时ab 棒受到的安培力 F=B₂dI=8×1.2×0.5N=4.8N，方向向左．
答：
（1）ab棒刚进入磁场时的外力F的大小是1.1N，方向向右；
（2）ab棒速度为零时所受到的安培力大小是4.8N，方向向左．

点评 本题是双杆问题，关键要通过计算分析两棒的运动情况，本题既有动生电动势，又有感生电动势，总电动势是它们的代数和．