Question

11．如图所示，O为地球球心，A为地球表面上的点，B为O、A连线间的点，AB=d，将地球视为质量分布均匀的球体，半径为R．设想挖掉以B为圆心、以$\frac{d}{2}$为半径的球．若忽略地球自转，则挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为（　　）

• A． 1-$\frac{d}{4R}$
• B． 1-$\frac{d}{8R}$
• C． 1-$\frac{d}{R}$
• D． $\frac{d}{R-d}$

Answer 1

分析 没有挖去以B为圆心、以$\frac{d}{2}$为半径的球之前，根据万有引力定律列式求解万有引力；此时的引力是以B为圆心、以$\frac{d}{2}$为半径的球的引力和剩余部分的引力的矢量和；最后根据牛顿第二定律列式求解．

解答 解：没有挖去以B为圆心、以$\frac{d}{2}$为半径的球之前，根据万有引力定律，有：
F=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$     ①
以B为圆心、以$\frac{d}{2}$为半径的球的质量为：
M₁=ρV₁=ρ•$\frac{4}{3}π（\frac{d}{2}）^{3}$  ②
地球质量：
M=ρV=ρ•$\frac{4}{3}π{R}^{3}$   ③
地球引力是以B为圆心、以$\frac{d}{2}$为半径的球的引力和剩余部分的引力的矢量和，故：
F=G$\frac{{M}_{1}m}{{d}^{2}}$+F₁    ④
联立解得：
$\frac{{F}_{1}}{F}$=1-$\frac{d}{8R}$
根据牛顿第二定律F=ma，有：
挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为1-$\frac{d}{8R}$；
故选：B

点评 本题关键是采用割补法分析，明确地球引力是以B为圆心、以$\frac{d}{2}$为半径的球的引力和剩余部分的引力的矢量和，结合万有引力定律列式求解，不难．