Question

5．如图所示，质量相同的三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动，其中b、c在地球的同步轨上，a距离地球表面的高度为R，此时a、b恰好相距最近．已知地球质量为M、半径为R、地球自转的角速度为ω，引力常量为G，则下列选项不正确的是（　　）

• A． 发射卫星a时速度要大于7.9km/s
• B． 若要卫星c与b实现对接，让卫星c加速即可
• C． 卫星b距离地面的高度为$\root{3}{\frac{GM}{{ω}^{2}}}$
• D． 卫星a和b下一次相距最近还需经过的时间t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{GM}{8{R}^{3}}-ω}}$

Answer 1

分析 第一宇宙速度7.9km/s是指在地球上发射的物体绕地球飞行作圆周运动所需的最小速度．c加速，万有引力小于向心力，会做离心运动，离开原轨道．b、c在地球的同步轨道上，所以卫星b、c和地球具有相同的周期和角速度．抓住卫星a、b转动的角度之差等于2π求出下一次相距最近经历的时间．

解答 解：A、地球卫星的最小发射速度为7.9km/s，可知发射卫星a的速度大于7.9km/s，故A正确．
B、让卫星c加速，万有引力小于向心力，卫星c会脱离圆轨道，做离心运动，不会与卫星b实现对接，故B错误．
C、根据$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}（R+h）$得，卫星b离地的高度$h=\root{3}{\frac{GM}{{ω}_{\;}^{2}}}-R$，故C错误；
D、当a比b多转一圈时，再一次相距最近，根据$（{ω}_{a}^{\;}-ω）t=2π$，根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{（2R）_{\;}^{2}}=m{ω}_{a}^{2}（2R）$得，运动的时间$t=\frac{2π}{\sqrt{\frac{GM}{8{R}_{\;}^{3}}}-ω}$，故D错误；
本题选不正确的，故选：BCD

点评 理解三种宇宙速度，知道卫星的变轨原理．能抓住万有引力提供向心力列出等式解决问题的思路，再进行讨论求解．