题目内容

10．《割绳子》是一款风靡世界的休闲游戏．玩家需要通过剪断绳索，让绑着的糖果掉入怪兽嘴里．如图是其中的某个关卡，开始时，一端连有糖果的绳索处于水平状态，另一端固定在O点上，绳索长度为R，图中的怪兽A相对O点水平和竖直位移分别为R和2R，怪兽B位于O点正上方R处，C处为喷气装置，可为糖果提供水平向右的动力或者阻力，该装置相对O点的竖直位移为R，已知糖果质量为m，重力加速度为g，题中涉及物体都可视作质点处理，糖果由水平位置开始静止释放，回答下列问题：
（1）糖果运动到最低点时，其对绳子的拉力为多大？
（2）试通过分析说明，糖果运动至最低点时，剪短绳索，能否被怪兽A吃到．若能，请说明理由；若不能，则计算说明怪兽A在同一高度的什么位置才能吃到糖果．
（3）显然，喷气装置提供额外的能量之后，糖果才有可能被怪兽B吃到，请问这部分额外能量最少为多少？

分析 （1）糖果向下运动的过程中，机械能守恒，由机械能守恒定律可求出它运动到最低点时的速度．在最低点，由合力提供向心力，根据牛顿第二定律求绳子对糖果的拉力，从而得到糖果对绳子的拉力．
（2）糖果运动至最低点时，剪短绳索后，糖果做平抛运动，由平抛运动的规律求出糖果下落2R高度时的水平位移，再进行判断．
（3）糖果恰好被怪兽B吃到时，糖果应绕O点做圆周运动，到最高点时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出最高点的临界速度，由机械能守恒定律求出最低点的速度，再由能量守恒定律求喷气装置提供额外的能量．

解答 解：（1）糖果向下运动的过程中，由机械能守恒定律得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，v1=$\sqrt{2gR}$
在最低点，以糖果为研究对象，由牛顿第二定律得：
T-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
联立解得：T=3mg
由牛顿第三定律得知，糖果运动到最低点时对绳子的拉力为3mg．
（2）糖果运动至最低点时，剪短绳索后，糖果开始做平抛运动，则有：
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
可得：t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
下落2R时，水平位移为：x=v1t=2$\sqrt{2}$R
因为 x＞R，所以糖果不能被怪兽A吃到，怪兽A在同一高度离O的水平距离为2$\sqrt{2}$R的位置才能吃到糖果．
（3）糖果恰好被怪兽B吃到时，在最高点，有：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
设这种情况下，糖果在最低点的速度为v2，根据机械能守恒定律得：
mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
可得：v2=$\sqrt{5gR}$
所以，喷气装置提供额外的能量为：E=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=1.5mgR
答：（1）糖果运动到最低点时对绳子的拉力为3mg．
（2）糖果不能被怪兽A吃到，怪兽A在同一高度离O的水平距离为2$\sqrt{2}$R的位置才能吃到糖果．
（3）喷气装置提供额外的能量为1.5mgR．

点评 解决本题时，要理清糖果的运动情况，把握每个过程和状态的规律，知道圆周运动最高点的临界条件：重力等于向心力，掌握平抛运动的规律，结合能量守恒定律研究．

练习册系列答案
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1．如图所示，一质量为m1的木箱放在水平地面上，一个质量为m2的人站在木箱里双手用力向上推木箱，推力为F，结果木箱和人仍静止不动，已知重力加速度为g，则（　　）
A．人对木箱底部的压力大小为m2g
B．人对木箱底部的压力大小为m2g+F
C．木箱对地面的压力大小为m1g+m2g-F
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18．如图所示，一幼儿园小朋友在水平桌面上将三个形状不规则的石块成功叠放在一起，受到老师的表扬．下列说法正确的是（　　）
A．石块a受到水平桌面向右的摩擦力
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D．石块b对c的支持力与c受到的重力是一对相互作用力
5．用如图1所示的实验装置验证机械能守恒定律．实验所用的电源为学生电源，输出电压为6V的交流电和直流电两种．重锤从高处由静止开始下落，重锤上拖着的纸带打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量并计算，即可验证机械能守恒定律．

（1）下面列举了该实验的几个操作步骤：
A．按照图示的装置安装器件；
B．将打点计时器接到电源的“直流输出”上；
C．用天平测出重锤的质量；
D．释放悬挂纸带的夹子，立即接通电源开关打出一条纸带；
E．测量纸带上某些点间的距离；
F．根据测量的结果计算重锤下落过程中减少的重力势能是否等于增加的动能．
其中没有必要进行的或者操作不当的步骤是BCD（将其选项对应的字母填在横线处）
（2）在一次实验中，质量m的重物自由下落，在纸带上打出一系列的点，如图2所示（相邻计数点时间间隔为0.02s），单位cm．那么：
①纸带的左（选填“左”或“右”）端与重物相连；
②从起点O到打下计数点B的过程中重力势能减少量是△Ep=0.49mJ，此过程中物体动能的增加量△Ek=0.48mJ （g取9.8m/s2）．
15．在“验证机械能守恒定律”的实验中，如果纸带上前面几点比较密集，不够清楚，可舍去前面比较密集的点，在后面取一段打点比较清楚的纸带，同样可以验证，如图所示，取O点为起始点，各点的间距已量出并标注在纸带上，所用交流电的频率为50Hz，（g取10m/s2），重锤的质量为m，（结果保留3位有效数字）

（1）打A点时，重锤下落的速度为vA=1.30m/s，
打F点时，重锤下落的速度为vF=2.28m/s．
（2）从A点到F点，重锤重力势能的减少量△EP=1.78mJ，动能的增加量△Ek=1.76mJ．
（3）得到的结论是在实验误差允许的范围内，机械能守恒．
2．下列说法正确的是（　　）
A．卢瑟福通过α粒子散射实验建立了原子核式结构模型
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