Question

17．如图所示圆柱形屋顶中心的天花板上的O点，挂一根长L=3m的细绳，挂一个m=0.5kg的小球，绳承受的最大拉力为10N，小球在水平面内做圆周运动，速度逐渐增大到绳被拉断后，小球以v=9m/s的速度落在墙角，求
（1）拉断细绳时，小球的线速度是多少？
（2）这个圆柱形房屋的高度H和半径R．

Answer 1

分析 （1）当绳子的拉力达到T=10N时刚好被拉断，设此时绳与竖直方向夹角为θ，则cosθ=$\frac{mg}{T}$，所以θ=60°，根据向心力公式求出绳断时的速度．
（2）小球在绳子断开后做平抛运动，根据竖直方向做自由落体运动求出下落的高度，进而求出水平位移，再根据几何关系可求H和R．

解答 解：（1）如图（1）所示，取小球为研究对象，设绳刚要断裂时细绳的拉力大小为T，绳与竖直方向夹角为θ，则在竖直方向有：
　　Tcosθ=mg，所以cosθ=$\frac{mg}{T}$=$\frac{1}{2}$，所以θ=60°      
球做圆周运动的半径 r=Lsin60°=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$m=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$m
由牛顿第二定律知
　　Tsinθ=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{r}$
可得 v_A=3$\sqrt{5}$m/s
（2）O、O′间的距离为：OO′=Lcos60°=1.5m，
则O′、O″间的距离为O′O″=H-OO′=H-1.5m．
设在A点绳断，细绳断裂后小球做平抛运动，落在墙边C处．
设A点在地面上的投影为B，如答图（2）所示．
由运动的合成可知：v²=v_A²+（gt）²，
由此可得小球平抛运动的时间 t=0.6s                  
由平抛运动的规律可知小球在竖直方向上的位移为 s_y=$\frac{1}{2}$gt²=H-1.5m，
所以屋的高度为H=$\frac{1}{2}$gt²+1.5m=$\frac{1}{2}$×10×0.62m+1.5m=3.3m，
小球在水平方向上的位移为 s_x=BC=v_At=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$m
　　由图可知，圆柱形屋的半径为R=$\sqrt{{r}^{2}+（BC）^{2}}$=4.8m
答：
（1）拉断细绳时，小球的线速度是3$\sqrt{5}$m/s．
（2）这个圆柱形房屋的高度H和半径R分别为3.3m和4.8m．

点评 本题主要考查了平抛运动的基本公式及向心力公式的应用，要求同学们能画出小球运动的轨迹，能结合几何关系解题．