Question

如图所示，ABMNCD为某个游戏场中的竖直固定轨道示意图，水平直轨道MN与右边半径R=3m的3/4光滑圆弧轨道NCD底端相连接，水平直轨道左边通过光滑曲线轨道BN与高为h=1m的平台AB相连接，平台AB长为1两个可视为质点的小球，两球质量均为0．lkg，开始时两球紧靠在一起，若同时给a、b一个初动能，使a向左运动，b向右运动，a的初动能为E_ka=2.2J，b的初动能为E_kb=3.0J，设a、b与水平轨道、与平台之间的动摩擦因数u均为0.2．为使a、b在以后的运动中不脱离平台与轨道，可适当调节轨道MN的长度、小球a、b运动的初始位置．求
（1）符合要求的轨道MN的最短距离；
（2）在满足（1）条件下，a、b两球由于运动而损失的总机械能．

Answer 1

分析：（1）当a球向左运动时，恰好通过光滑曲线轨道BN到达平台AB的左边时，速度为零，动能转化为重力势能和摩擦生热，根据能量守恒定律列式，求出aM距离．
b向右运动时，为了运动中不脱离轨道，最大高度在

1

4

的圆周以下，然后返回，同样当其通过光滑曲线轨道BN到达平台AB的左边速度为零时，所需轨道最短，对b球，根据能量守恒列式，求出bN，即可得到MN最短距离；
（2）初态时两球的总动能与末态时两球重力势能之差，即为损失的总机械能．

解答：解：（1）当a球向左运动时，假设开始运动时到M点的距离x1，则当其恰好通过光滑曲线轨道BN到达平台AB的左边时，速度为零，根据能量守恒定律得
   mgh+μmg（x₁+1）=E_ka
得x₁=

Eka-mgh-μmg

μmg

=

2.2-0.1×10×1-0.2×0.1×10

0.2×0.1×10

=5m
b向右运动时，假设开始运动时到N的距离为x₂，为了运动中不脱离轨道，最大高度在

1

4

的圆周以下，然后返回，
同样当其通过光滑曲线轨道BN到达平台AB的左边速度为零时，所需轨道最短．
对b球，根据能量守恒得
   μmg（2x₂+x₁+1）+mgh=E_kb
解得，x₂=

Ekb-μmgx1-μmg-mgh

2μmg

=2m
则MN=x₁+x₂=7m
（2）a、b两球由于运动而损失的总机械能为△E=E_ka+E_kb-2mgh=3.2J
答：
（1）符合要求的轨道MN的最短距离是7m；
（2）在满足（1）条件下，a、b两球由于运动而损失的总机械能是3.2J．

点评：本题的关键是分析什么条件下才能保证a、b在运动中不脱离平台与轨道，根据能量守恒进行处理．