Question

4．如图所示，一个半圆性轨道放置在水平地面上，轨道半径为R，O点为其圆心，从轨道最左端M点正上方的某处水平抛出一个小球，小球落在半圆轨道上时速度恰好沿NO方向，NO与水平方向夹角为60°，则小球抛出时的高度为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$R
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$R
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$R
• D． $\sqrt{3}$R

Answer 1

分析 将N点的速度分解为水平和竖直方向，根据几何关系求出竖直分速度，表示出时间表达式，求出平抛的水平和竖直位移，根据几何关系求得N点离地的高度，综合即可求出小球抛出时的高度；

解答 解：设小球平抛的初速度为${v}_{0}^{\;}$，将N点速度沿水平和竖直方向分解，如图所示

竖直速度${v}_{y}^{\;}={v}_{0}^{\;}tan60°=\sqrt{3}{v}_{0}^{\;}$①
运动时间$t=\frac{{v}_{y}^{\;}}{g}=\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{\;}}{g}$②
水平位移$x={v}_{0}^{\;}t=\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{g}$③
根据几何关系：$x=R（1-cos60°）=\frac{1}{2}R$④
由③④式得$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}=\frac{R}{2\sqrt{3}}$⑤
平抛的竖直位移$y=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}=\frac{1}{2}g•（\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{\;}}{g}）_{\;}^{2}=\frac{3{v}_{0}^{2}}{2g}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}R$⑥
N点的高度y′：$tan60°=\frac{y′}{Rcos60°}$，
得$y′=\frac{\sqrt{3}}{2}R$⑦
小球抛出时的高度$H=y+y′=\frac{\sqrt{3}}{4}R+\frac{\sqrt{3}}{2}R=\frac{3\sqrt{3}}{4}R$⑧，故C正确，ABD错误；
故选：C

点评 解决本题的关键掌握平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，抓住速度方向，结合位移关系、速度关系进行求解．