Question

13．M=1000kg的汽车通过圆形拱桥时的速率恒定，拱桥的半径为R=10m，g=10m/s²．求：
（1）汽车到达桥顶的速度为2m/s时对桥的压力有多大？
（2）汽车对拱桥的压力为车重的一半时的速率；
（3）汽车对拱桥的压力为零时的速率．

Answer 1

分析 （1）汽车在桥顶，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出汽车对拱桥的压力．
（2）根据牛顿第二定律求出汽车对拱桥的压力为车重的一半时的速率．
（3）当汽车对拱桥的压力为零时，靠重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出汽车的速率．

解答 解：（1）汽车通过拱桥最高点由重力和支持力提供其向心力，根据牛顿第二定律有：
mg-N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入数据解得：N=9600N，
根据牛顿第三定律得汽车对拱桥的压力大小是9600N，
（2）根据牛顿第二定律得：$mg-N=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
因为N=$\frac{1}{2}mg$，
解得：v=$\sqrt{\frac{1}{2}gr}=\sqrt{\frac{1}{2}×10×10}=5\sqrt{2}m/s$；
（3）汽车通过拱桥最高点恰好对拱桥无压力时，则由重力提供其向心力，根据牛顿第二定律有：
mg=m$\frac{{v′}^{2}}{R}$
v′=$\sqrt{gR}$=10m/s，
答：（1）汽车到达桥顶的速度为2m/s时对桥的压力9600N；
（2）汽车对拱桥的压力为车重的一半时的速率为5$\sqrt{2}$m/s；
（3）汽车对拱桥的压力为零时的速率为10m/s．

点评 汽车过拱桥问题属于竖直平面内的圆周运动问题，关键找到向心力来源，然后根据牛顿第二定律列式求解．