Question

17．如图所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一根光滑的细钉，已知OP=$\frac{1}{2}$L，在A点给小球一个水平向左的初速度v₀，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B，求：
（1）若不计空气阻力，则初速度v₀多大？
（2）若初速度v₀=3$\sqrt{gL}$，则小球在从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功？

Answer 1

分析 （1）小球恰能到达最高点B，绳子的拉力等于零，由重力提供圆周运动所需的向心力，根据牛顿第二定律求出小球到达B点的速度．取A到B过程为研究过程，运用动能定理求出初速度．
（2）取A到B过程为研究过程，运用动能定理求出该过程中克服空气阻力所做的功．

解答 解：（1）小球恰能到达最高点B，有 mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{\frac{L}{2}}$得，v_B=$\sqrt{\frac{1}{2}gL}$
不计空气阻力，在A到B的过程中，只有重力做功，根据动能定理得
-mg•$\frac{3}{2}$L=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得，v₀=$\frac{\sqrt{7gL}}{2}$
即不计空气阻力，则初速度v₀为$\frac{\sqrt{7gL}}{2}$．
（2）取A到B过程为研究过程，根据动能定理得
-mg•$\frac{3}{2}$L-W_f=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得 W_f=$\frac{11}{4}$mgL．
故小球从A到B的过程中克服空气阻力做功为$\frac{11}{4}$mgL．
答：
（1）若不计空气阻力，则初速度v₀为$\frac{\sqrt{7gL}}{2}$．
（2）小球在从A到B的过程中克服空气阻力做功为$\frac{11}{4}$mgL．

点评 运用动能定理解题关键确定好研究的过程，判断在该过程中有哪些力做功，然后列表达式求解．