Question

10．如图所示，边长为L的正方形线圈abcd与阻值为R的电阻组成闭合回路，线圈的匝数为n、总电阻为r，ab中点、cd中点的连线OO′恰好位于匀强磁场的左边界线上，磁场的磁感应强度大小为B．从图示位置开始计时，线圈绕垂直于磁场的OO′轴以角速度ω匀速转动，求：
（1）回路中感应电动势的瞬时表达式；
（2）从t=0到t=$\frac{π}{2ω}$时刻，电阻R产生的焦耳热Q；
（3）从t=0到t=$\frac{π}{2ω}$时刻，通过R的电荷量q．

Answer 1

分析 当线圈与磁场平行时感应电动势最大，由公式E_m=BSω求解感应电动势的最大值．图中是中性面，线框在匀强磁场中匀速转动，产生正弦式交变电流，根据e=E_msinωt可列出感应电动势的瞬时表达式，根据焦耳定律求电阻R产生的焦耳热，根据$q=\overline{I}t$求感应电荷量．

解答 解：（1）感应电动势的最大值为：
${E}_{m}^{\;}=nB\frac{{L}_{\;}^{2}}{2}ω=\frac{1}{2}nB{L}_{\;}^{2}ω$
回路中感应电动势的瞬时表达式为：$e={E}_{m}^{\;}sinωt=\frac{1}{2}nB{L}_{\;}^{2}ωsinωt$
（2）感应电动势的有效值为：$E=\frac{{E}_{m}^{\;}}{\sqrt{2}}=\frac{nB{L}_{\;}^{2}ω}{2\sqrt{2}}$
回路电流为：$I=\frac{E}{R+r}=\frac{nB{L}_{\;}^{2}ω}{2\sqrt{2}（R+r）}$
电阻R上产生的焦耳热为：$Q={I}_{\;}^{2}R\frac{π}{2ω}=\frac{π{n}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{4}ω}{16（R+r）_{\;}^{2}}$
（3）平均感应电动势为：$\overline{E}=n\frac{△Φ}{△t}$
平均电流为：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$
电量为：$q=\overline{I}△t$
联立得：$q=n\frac{△Φ}{R+r}$
从t=0到t=$\frac{π}{2ω}$时刻，线圈转动90°，$△Φ=B\frac{{L}_{\;}^{2}}{2}$
所以通过R的电荷量为：$q=n\frac{B{L}_{\;}^{2}}{2（R+r）}$
答：（1）回路中感应电动势的瞬时表达式$e=\frac{1}{2}nB{L}_{\;}^{2}ωsinωt$；
（2）从t=0到t=$\frac{π}{2ω}$时刻，电阻R产生的焦耳热Q$\frac{π{n}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{4}ω}{16（R+r）_{\;}^{2}}$；
（3）从t=0到t=$\frac{π}{2ω}$时刻，通过R的电荷量q为$n\frac{B{L}_{\;}^{2}}{2（R+r）}$

点评 本题要掌握正弦式交变电流瞬时值表达式，注意计时起点，掌握感应电荷量的经验公式$q=N\frac{△Φ}{R+r}$，知道用有效值求热量．