Question

2．如图，O、A、B为同一竖直平面内的三个点，OB沿竖直方向，∠BOA=60°，OA长为l，且OA：OB=2：3．将一质量为m的小球以一定的初动能自O点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A点，则小球的初动能为$\frac{3}{8}mgl$；现从O点以同样的初动能沿某一方向抛出小球，并对小球施加一方向与△OAB所在平面平行的恒力F，小球通过了A点，到达A点时的动能是初动能的3倍；若小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出，在相同的恒力作用下，恰好通过B点，且到达B点时的动能为初动能的6倍．则此恒力F的大小为$\frac{\sqrt{3}mg}{6}$．

Answer 1

分析 根据平抛运动的水平位移和竖直位移，结合平抛运动的规律求出初速度的大小，从而得出抛出时的初动能．
对O到A和O到B分别运用动能定理，求出恒力做功之比，结合功的公式求出恒力与OB的方向的夹角，从而求出恒力的大小．

解答 解：小球以水平初速度抛出，做平抛运动，在水平方向上的位移x=lsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}l$，竖直方向上的位移y=$\frac{1}{2}l$，
根据y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=v₀t得，解得${v}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{gl}$，
则小球的初动能${E}_{{k}_{0}}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{3}{8}mgl$．
根据动能定理得，0到A有：${W}_{OA}+\frac{1}{2}mgl=2{E}_{k0}$，解得${W}_{OA}=\frac{1}{4}mgl$，
O到B有：W_OB+$\frac{3}{2}$mgl=5E_k0，解得${W}_{OB}=\frac{3}{8}mgl$，
设恒力的方向与OB方向的夹角为α，则有：$\frac{F\frac{3}{2}lcosα}{Flcos（60°-α）}=\frac{3}{2}$，
解得α=30°，
所以$F\frac{3}{2}lcos30°=\frac{3}{8}mgl$，解得F=$\frac{\sqrt{3}mg}{6}$．
故答案为：$\frac{3}{8}$mgl，$\frac{\sqrt{3}mg}{6}$

点评 本题考查了平抛运动以及动能定理的综合运用，第二格填空难度较大，关键得出恒力做功之比，以及恒力与竖直方向的夹角．